Обозначим записанные на карточках числа через a₁ , a₂ , ... , a_n , а искомое число вопросов через p .

а) Прежде всего заметим, что каждое из данных чисел должно войти хотя бы в одно из произведений, значения которых мы выясняем, задавая наши вопросы, ибо в противном случае, изменив знак у числа, записанного на неиспользованной карточке, мы изменим знак произведения всех чисел, сохранив при этом прежними ответы на все заданные вопросы. (Это и показывает, что на основании полученных ответов нельзя определить произведение всех чисел.) Поскольку одним вопросом мы узнаем произведение трех чисел, то p .

Если n=3k , то k вопросов достаточно. Выяснив, чему равны k произведений a₁ a₂ a₃ , a₄ a₅ a₆ , a₇ a₈ a₉ , ... , a3k-2 a3k-1 a3k , и перемножив полученные результаты, мы найдем произведение всех чисел.

Если n=3k+1, то p k+1. Покажем, что при k>1 за (k+1) вопросов можно узнать произведение всех чисел.

Выясним, чему равны (k+1) произведений a₁ a₂ a₃ , a₁ a₄ a₅ , a₁ a₆ a₇ , a₈ a₉ a10, a11 a12 a13, ... , a3k-1 a3k a3k+1. В этих произведениях все числа, кроме a₁ , участвуют по одному разу, а число a₁ – три раза. Так как a₁³=a₁ , то произведение полученных результатов равно произведению всех написанных на карточках чисел.

Оставшийся не рассмотренным случай n=4 мы разберем ниже. В этом случае задачаа) не отличается от задачиб).

Если n=3k+2, то снова p k+1. В этом случае произведение всех написанных на карточках чисел можно найти, перемножив произведения a₁ a₂ a₃ , a₁ a₂ a₄ , a₁ a₂ a₅ , a₆ a₇ a₈ , a₉ a10 a11, ... , a3k1 a3k+1 a3k+2, и задав при этом k+2 вопроса (в произведениях участвуют 3k сомножителей по одному разу, а сомножители a₁ и a₂ – по три раза, т.е. 3k+6 сомножителей). Покажем, что k+1 вопросов недостаточно.

В k+1 произведений входят 3k+3=n+1 сомножителей; но так как каждое из n написанных на карточках чисел должно выйти хотя бы в одно из этих произведений, то одно число (назовем его a ) входит в два произведения: abc и ade , а каждое из остальных чисел входит ровно в одно произведение. Но, заменив числа a , b и d , мы не изменим ни одного из полученных ответов, изменив при этом произведение всех написанных на карточках чисел; значит, на основании полученных k+1 ответов нельзя определить это произведение.

Итак, ответ в задаче а) таков:

если n=3k , то p=k ,

если n=3k+1, то p=k+1 (кроме случая n=4).

если n=3k+2, то p=k+2.

б) Если n=3k , то, как и в задачеа), p=k . Пусть n не делится на3.

Заметим, что в условиях задачиб) задавать вопросы можно о значениях лишь таких n произведений:

Задав все n вопросов, мы узнаем куб произведения a₁ a₂ ... a_n , а значит, и само произведение– ведь оно равно 1 или -1. Покажем, что n-1 вопросов для нахождения произведения a₁ a₂ ... a_n недостаточно.

Задав n-1 вопросов, мы будем знать все произведения(*), кроме одного. Так как мы могли начать нумерацию карточек с любой из них, то можно считать, что не задавался вопрос о значении произведения a₁ a₂ a₃ .

Пусть n=3k+1. Заменив на противоположные числа a₂ и a₃ , a₅ и a₆ , a₈ и a₉ , ... , a3k-1 и a3k , а также число a₁ , мы изменим знак всего произведения a₁ a₂ ... a_n (так как заменяются 2k+1 чисел). Но поскольку в каждом из произведении(*), кроме произведения a₁ a₂ a₃ , о котором мы ничего не спрашиваем, меняются два сомножителя, то мы об этой перемене знака всего произведения ничего не узнаем, задав n-1 вопросов.

Пусть n=3k+2. Снова, заменив на противоположные числа a₄ и a₅ , a₇ и a₈ , a10 и a11, ... , a3k+1 и a3k+2 и a₂ , мы изменим знак всего произведения a₁ a₂ ... a_n (так как опять заменяется нечетное количество чисел) и снова об этой перемене мы не узнаем, поскольку опять во всех произведениях(*), кроме произведения a₁ a₂ a₃ меняется по два сомножителя.

Итак, ответ к задаче б) таков:

если n не делится на 3, то p=n ;

если n делится на 3, то p= .

Теперь мы видим, что в задачеа) при n=4 p=4.

Ответ задачи отсутствует