Олимпиадные задачи из источника «выпуск 1»
выпуск 1
НазадПредлагается построить<i>N</i>точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек<i>M</i><sub><i>i</i></sub>и<i>M</i><sub><i>j</i></sub>, где<i>i</i>и<nobr><i>j</i> —</nobr>любые числа<nobr>от 1</nobr><nobr>до <i>N</i>.</nobr>Можно ли провести построение, если расстояния <i>r</i><sub><i>ij</i></sub> заданы так, что всякие 5 из <i>N</i> точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из <nobr><i>N</i> точек?</nobr> в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а...
Даны два набора из <i>n</i> вещественных чисел: <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> и <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i>. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из <i>a<sub>i</sub> < a<sub>j</sub></i> следует, что <i>b<sub>i</sub> ≤ b<sub>j</sub></i>;
б) из <i>a<sub>i</sub> < a < a<sub>j</sub></i>, где <i>a</i> = <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> (<i>a</i...
<i> n </i>отрезков<i> A<sub>1</sub> B<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> B<sub>2</sub> </i>,<i> ... </i>,<i> A<sub>n</sub> B<sub>n</sub> </i>(рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку<i> G </i>(не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> ... </i>,<i> A<sub>n</sub> </i>. Докажите, что <center><i>
<img align="absmiddle" src="/storage/problem-me...
Сумма 3<sup>1974</sup> + 5<sup>1974</sup> делится на 13. Докажите это.