а) Возможны два взаимно исключающих друг друга случая.

1^o . Всякие пять из N точек, построенных с соблюдением требований задачи, оказываются расположенными на одной прямой.

2^o . Не всякие пять из N точек оказываются на одной прямой: по крайней мере три точки образуют треугольник; пусть это будут точки M₁ , M₂ и M₃ (этого всегда можно добиться, меняя, если нужно, нумерацию чисел r_ij ).

Рассмотрим сначала более общий случай 2^o . Докажем, что в случае 2^o все N точек построить можно. Построим Δ M₁ M₂ M₃ (так, чтобы M₁ M₂=r12, M₁ M₃=r13, M₂ M₃=r23). Так как по условию можно построить на плоскости любые пять из N точек, то четыре из N точек тем более можно построить (так, чтобы расстояния между ними равнялись заданным числам).

Воспользовавшись этим, построим поочередно точки M₄ , M₅ , ... , M_N , следя при построении точки M_k (4 k N ) лишь за тем, чтобы M₁ M_k=r1k , M₂ M_k=r2k и M₃ M_k=r3k .

Нам понадобится следующая

Лемма. Даны четыре точки на плоскости: A , B , C и D ; A , B и C не лежат на одной прямой. Пусть E такая точка, что AE=AD , BE=BD и CE=CD . Тогда E обязательно совпадает с D .

Доказательство. AE=AD и BE=BD ; значит, если E и D не совпадают, то они симметричны относительно AB . Аналогично, если E и D не совпадают, то они симметричны относительно AC (и относительно BC ). Так как две точки не могут быть одновременно симметричны и относительно AB , и относительно AC , то, значит E=D .

Вернемся к решению нашей задачи.

Согласно лемме положение точки M_k (4 k N ) всякий раз определяется однозначно. Проверим, что построенные таким образом точки– искомые: для любых i и j расстояние M_i M_j=r_ij .

Если хотя бы одни из индексов равен 1, 2 или 3, то это следует непосредственно из построения. Пусть оба индекса, i и j , больше 3. Построим на плоскости пять точек A₁ , A₂ , A₃ , A_i и A_j так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись заданному числу (в частности, A_i A_j=r_ij )– по условию это сделать можно. Передвинем пятиугольник A₁ A₂ A₃ A_i A_j так, чтобы Δ A₁ A₂ A₃ совпал с Δ M₁ M₂ M₃ (эти два треугольника равны). По лемме точки A_i и A_j совпадут при этом с точками M_i и M_j . Тем самым M_i M_j=r_ij , что и требовалось доказать.

В случае 1^o (когда любые пять точек оказываются на одной прямой) все N точек тем более можно построить, поскольку верно следующее утверждение:

Пусть нужно построить N точек на прямой (так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись заданным числам r_ij). Числа r_ij заданы так, что всякие четыре из N точек построить можно. Тогда можно построить все N точек.

Доказывается это утверждение в точности по той же схеме, что и выше.

б) В общем случае из возможности построения любых четырех точек не следует возможность построения всех N точек. Приведем соответствующий пример для N=5.

Пусть D – центр правильного треугольника ABC (рис.4), E – точка, симметричная D относительно BC . Положим r12=r13=r23=AB , r14= r24=r34=r15=r25=r35=AD , r45=DE . Построить пять точек M₁ , ... , M₅ так, чтобы M_i M_j=r_ij при всех i и j , очевидно, невозможно: если выполнены 9 равенств M_i M_j=r_ij (все, кроме M₄ M₅=r45), то по лемме M₄=M₅ ; значит, все 10 равенств одновременно выполняться не могут. Вместе с тем любые четыре точки из пяти построить можно: все точки, кроме M₄ и все, кроме M₅ , образуют конфигурацию ABCD ; остальные три "<четверки" точек образуют конфигурацию BDCE на рис.4.

в) В случае построения точек не на плоскости, а в пространстве, наименьшее число K , такое, чтобы возможность построения любых K из N точек, обеспечивала построение и всех N точек, равно шести.

То, что шести точек достаточно, доказывается так же, как и в пункте а). То, что пяти точек мало, следует, как и в пункте б), из рис.5, где E – центр правильного тетраэдра ABCD , a F – точка, симметричная точке E относительно грани KBCD .

Ответ задачи отсутствует