Рассмотрим вначале "одномерную" задачу.

Лемма1. Пусть дано n чисел, таких, что каждое по модулю не превосходит 1, а сумма всех равна 0. Тогда их можно занумеровать так, чтобы при любом i n сумма первых i из них была по модулю не больше1.

Укажем один из способов нумерации (проверьте, что он приводит к цели). Разобьем данные числа на положительные: a₁ , ... , a_k и неположительные: b₁ , ... , b_n-k . Положим c₁=a₁ , c₂=b₁ . Если c₁+c₂<0, положим c₃=a₂ ; если c₁+c₂ 0, положим c₃=b₂ . И вообще, если c₁ , ... , c_l уже выбраны, то при c₁+...+c_l<0 примем за c_l+1 очередное положительное число, а при c₁+...+c_l 0– очередное неположительное число.

Опираясь на лемму1, решим задачу M275 б). Приложим все данные векторы к некоторой точке O и выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы сумма s всех векторов, смотрящих вверх (в полуплоскость y>0), была направлена в точности по оси y . (Вопрос, как построить такую систему координат, мы обсудим позже.) Остальные векторы (смотрящие вниз) дадут тогда в сумме -s .

Сначала займемся векторами, смотрящими вверх. Их составляющие по оси x обозначим через p₁ , ... , p_k . Так как составляющая s по оси x равна 0, то p₁+...+p_k=0. По модулю каждое из чисел p₁ , ... , p_k не превосходит

1. По лемме1 занумеруем числа p₁ , ... , p_k так, чтобы при всяком i k сумма первых i из них была по модулю не больше 1. Тем самым мы занумеруем векторы, смотрящие вверх, так, что при всяком i k сумма первых i из них будет лежать в полосе |x| 1 (рис.1). Составляющие этих векторов по оси y (в выбранном порядке) обозначим через a₁ , ... , a_k .

Так же занумеруем векторы, смотрящие вниз, и их составляющие по оси y назовем b₁ , ... , b_n-k .

Теперь перейдем к сквозной нумерации всех данных векторов. Каждое из чисел a₁ , ... , a_k заключено между 0 и 1, каждое из чисел b₁ , ... , b_n-k – между 0 и -1, а сумма всех их равна 0. Не меняя относительного порядка чисел a₁ , ... , a_k и относительного порядка чисел b₁ , ... , b_n-k , выпишем их по лемме1 в виде набора c₁ , ... , c_n так, чтобы при любом i n выполнялось неравенство |c₁+...+c_i| 1. Таким образом, мы занумеруем все данные векторы так, что при всяком i n сумма первых i из них будет расположена в полосе |y| 1. При этом (благодаря предварительной нумерации чисел a₁ , ... , a_k и b₁ , ... , b_n-k всякая такая сумма лежит и в полосе |x| 2.

Итак, мы доказали, что n данных векторов можно обозначить через v₁ , ... , v_n так, что при всяком i n сумма v₁+...+ v_i лежит в прямоугольнике |x| 2, |y| 1, и, значит, | v₁+...+ v_i| .

Замечание1. Остается обосновать построение системы Oxy .

Разобьем все данные векторы на два класса, сумму векторов первого класса обозначим через s (тогда сумма векторов второго класса будет -s ). Всевозможных разбиений на два класса всего 2ⁿ (важно, что их конечное число). Выберем из них такое, для которого |s| принимает наибольшее значение, и направление именно этого вектора s примем за направление оси y .

(Убедитесь, что построенная система Oxy обладает нужным нам свойством.)

Замечание2. Из приведенного построения оси y видно, что ни один из данных векторов не перпендикулярен ей, следовательно, мы верно говорили о векторах, "смотрящих вниз" (вместо более осторожного "не вверх").

Упражнение1. Пусть в пространстве дано n векторов, таких, что каждый по модулю не превосходит 1, a сумма всех равна 0. Докажите, что их можно занумеровав так, чтобы при любом i n сумма первых i из них имела длину меньше C , где: а) C= , б)^* C= .

Перейдем к задаче M275 а).

Лемма2. Пусть каждый из векторов e₁ , ... , e_r имеет длину 1, длина e₀ не больше 1, и e₀+ e₁+...+ e_r=0. Тогда среди векторов e₁ , ... , e_r найдется либо один вектор e_i , либо пара векторов e_j и e_k , которые в сумме с e₀ дают вектор e длины не больше 1 (либо | e₀+ e_i| 1, либо | e₀+ e_j+ e_k| 1). Во втором случае | e₀+ e_j|< .

Доказательство. Начертим два луча, OA и OB , образующие с e₀ углы в 120^o (рис.2). Если среди e₁ , ... , e_r найдется вектор, лежащий внутри (или на сторонах) AOB , то его и примем за e_i .

Пусть такого вектора среди e₁ , ... , e_r нет. Проведем тогда через точку O прямую CD e₀ . Среди векторов e₁ , ... , e_r обязательно окажется вектор, лежащий внутри AOC или внутри BOD (иначе не выполняется условие e₀+ e₁+...+ e_r=0). Пусть для определенности хотя бы один из векторов e₁ , ... , e_r лежит внутри BOD . Ближайший к OB из таких векторов назовем e_j , а луч, направленный противоположно ему, обозначим через OE . Хотя бы один из векторов e₁ , ... , e_r лежит внутри AOE (иначе опять не выполняется условие e₀+ e₁+...+ e_r=0). Ближайший к OA из этих векторов назовем e_k . Угол между e_j и e_k меньше 180^o , но больше AOB= 120^o . Значит, сумма e_j+ e_k , образует и с e_j и с e_jk угол, больший 60^o . Значит, вектор e_j+ e_k лежит внутри AOB , и, следовательно, | e₀+ e_j+ e_k| 1. При этом | e₀+ e_j|< .

Из леммы2 сразу следует, что в задаче M275 а) векторы можно занумеровать так, чтобы при всяком k n сумма первых k векторов имела длину меньше (доказательство– индукцией по n ).

Усложняя доказательство, можно еще улучшить оценку в задаче M275 а), а именно– заменить на .

Упражнение2. Получите в задаче M275 а) оценку . Докажите, что улучшить эту оценку уже нельзя, т.е. покажите, что для любого положительного C< можно указать на плоскости n единичных векторов с суммой 0, таких, что, как бы их ни обозначать через v₁ , ... , v_n , при некотором k окажется справедливым неравенство | v₁+...+ v₁k|>C .

Было бы интересно получить неулучшаемую оценку и в задаче M275 б) (автору она неизвестна). Впрочем, для цели, ради которой предлагалась задача M275, точная оценка как раз не нужна. Упомянутая цель– доказательство комплексной теоремы Римана (см."Квант", 1973, #9. "От перемены мест слагаемых", упражнения22 и23).

Упражнение3. Опираясь на M275 б), выполните упражнение22 из статьи "От перемены мест слагаемых".

Ответ задачи отсутствует