Назовём прямоугольную полоску, являющуюся элементом указанного разбиения, блоком. Обозначим одну из сторон исходного прямоугольника длиныbчерезB; назовем блок горизонтальным, если его единичная сторона параллельна сторонеB, и вертикальным — в противном случае. Обозначим прямую, параллельнуюB, отстоящую отBна расстояниеxи пересекающую данный прямоугольник, черезL_x(тогдаx≤a). Будем считать, что прямаяB — левая. Если вертикальный блок расположен между прямымиL_iиL_{i + 1}для некоторого целогоi, то выкрасим его в красный цвет, остальные вертикальные блоки выкрасим в синий цвет, а все горизонтальные — в жёлтый. Сумму длин красных отрезков прямойL_xобозначим через К(L_x) синих — через С(L_x) и жёлтых — через Ж(L_x). (Если отрезок разделяет блоки двух цветов, будем считать, что он имеет цвет правого блока.) Очевидно, что Ж(L_x) — целое число для любогоx. Покажем, что если перекрасить все синие блоки в жёлтый цвет, то сумма длин жёлтых частей любой прямойL_xостанется числом целым. Для этого нам достаточно доказать, что сумма длин синих частей прямойL_x(то есть С(L_x)) — целое число при любомx. Обозначим всевозможные расстояния от синих блоков доBчерез α₁, α₂, ..., α_n, причём

Прежде всего, покажем, что можно перекрасить блокиC₁⁽¹⁾, ..., С_k1⁽¹⁾, отстоящие отBна расстояние α₁. Пусть [a] — целая часть числаa. Так как α₁ — наименьшее среди всех расстояний от синих блоков до прямойBи [α₁] < α₁, то К(L_α1) = К(L_[α1]) =b− Ж(L_α1). Поэтому С(L_α1) =b− К(L_α1) − Ж(L_α1) = Ж(L_[α1]) − Ж(L_α1) — целое число, и, значит, блокиC₁⁽¹⁾, ..., С_k1⁽¹⁾можно перекрасить, поскольку произвольная прямаяL_xлибо пересекает их все, либо не пересекает ни одного из них. Точно так же доказывается, что из возможности перекрасить блокиC₁^(s), ..., С_k1^(s), отстоящие отBна расстояниеa_sдля всехs≤i− 1 следует, что можно перекрасить блокиC₁⁽ⁱ⁾, ..., С_k1⁽ⁱ⁾. Теперь утверждение следует из принципа математической индукции:C(L_x) — целое при любомx. Итак, у нас остались лишь красные и жёлтые блоки. Если теперь прямаяL_[a]совпадает со стороной прямоугольника, тоa — целое число. Если же нет, тои так как Ж(L_x) — целое, то, значит, иb — целое. Утверждение полностью доказано.

Ответ задачи отсутствует