Олимпиадные задачи из источника «выпуск 4»

Окружность разбита точками<i>A</i>₁,<i>A</i>₂,...,<i>A</i>_<i>n</i>на<nobr><i>n</i> равных</nobr>дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги<i>A</i>₂<i>A</i>₆и<i>A</i>₆<i>A</i>₁₀одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения <i>A</i><sub><i>k</i><...

Назовём <i>квартетом</i> четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в

  а) квадрате 5×5;

  б) прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73794/problem_73794_img_2.gif"></div>

При каких натуральных  <i>n</i> ≥ 2  неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73792/problem_73792_img_2.gif">   выполняется для любых действительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, если

  а)  <i>p</i> = 1;

  б)  <i>p</i> = ⁴/₃;

  в)  <i>p</i> = ⁶/₅?

Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки <i>M</i> окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.