Задачи и олимпиады по математике

Задача

На отрезке [0; 1] заданафункция f.Эта функция во всех точках неотрицательна,f(1) = 1,наконец, для любых двух неотрицательных чиселx₁иx₂, сумма которых непревосходит 1,величинаf (x₁ + x₂)не превосходит суммы величинf(x₁)иf(x₂).а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x₂) ≤ 2x. б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x₂) ≤ 1,9x?

Решение

а) Функция, удовлетворяющая условию задачи, монотонно возрастает. В самом деле, если x₂ x₁ и x₂ 1, то f(x₂) f(x₁)+f(x₂-x₁)и f(x₂-x₁) 0; следовательно, f(x₂) f(x₁). Поэтому если <x 1, поскольку f(1)=1, имеем

f(x) 1 2x.

Пусть теперь 0<x . Возьмем такое натуральное n , чтобы <nx 1 (понятно, что это всегда можно сделать). Легко доказать (по индукции), что если x 0 и nx 1, то f(nx) nf(x). Для <nx 1 уже доказано, что f(nx) 2 · nx .

Поэтому nf(x) f(nx) 2 · nx , откуда f(x) 2x и для 0<x .

Осталось только выяснить, что будет в нуле. Возьмем 0<x₁ 1; тогда

f(x₁)=f(0+x₁) f(0)+f(x₁).

Но по определению f(0) 0, значит, f(0)=0.

б) Ответ: нет, не верно.

Приведем пример. Зададим функцию следующим образом:

f(x)=

Если 1 x₁ x₂ 0 и x₁+x₂ 1, то x₂ и f(x₂)=0.

Следовательно, f(x₁+x₂) f(x₁)+f(x₂) и рассматриваемая функция удовлетворяет требованиям задачи.

В то же время

f ( )=1> 1,9 · .

Ответ

б) нет, не верно.

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления