а) Пусть AB — наибольшая диагональ или сторона данного многоугольника M. Многоугольник Mзаключен внутри полосы, образованной перпендикулярами к отрезку AB, проходящими через точки Aи B. Проведем к многоугольнику Mдве опорные прямые, параллельные AB; пусть они пересекают многоугольник Mв точках Cи D. В результате многоугольник Mзаключен в прямоугольник, площадь которого равна 2S_ABC+ 2S_ABD$\leq$2S. б) Пусть M — исходный многоугольник, l — произвольная прямая. Рассмотрим многоугольник M₁, одна из сторон которого — проекция Mна l, а длины сечений многоугольников Mи M₁любой прямой, перпендикулярной l, равны (рис.). Легко проверить, что многоугольник M₁тоже выпуклый, причем его площадь равна S. Пусть A — наиболее удаленная от lточка многоугольника M₁. Прямая, равноудаленная от точки Aи прямой l, пересекает стороны многоугольника M₁в точках Bи C. Проведем через точки Bи Cопорные прямые. В результате вокруг многоугольника M₁будет описана трапеция (через точку Aтоже можно провести опорную прямую); площадь этой трапеции не менее S. Если высота трапеции (т. е. расстояние от точки Aдо прямой l) равна h, то ее площадь равна h ^. BC, а значит, h ^. BC$\geq$S. Рассмотрим сечения PQи RSмногоугольника Mпрямыми, перпендикулярными lи проходящими через Bи C. Длины этих сечений равны h/2, поэтому PQRS — параллелограмм, причем его площадь равна BC ^. h/2$\geq$S/2.

Ответ задачи отсутствует