Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 10 класса - сложность 1-5 с решениями

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Правильный <i>n</i>-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что

а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна <i>n</i>²;

б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  <i>n</i> ctg ^π/_2<i>n</i>;

в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  <i>n</i>^<i>n</i>/2.

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки <i>X</i> до вершин правильного <i>n</i>-угольника будет наименьшей, если <i>X</i> – центр <i>n</i>-угольника.

В правильном восемнадцатиугольнике <i>A</i>₀...<i>A</i>₁₇ проведены диагонали <i>A</i>₀<i>A</i>_<i>p</i>+3, <i>A</i>_<i>p</i>+1<i>A</i>_{18–<i>r</i>} и <i>A</i>₁<i>A</i>_{<i>p</i>+<i>q</i>+3}.

Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:

  а)  {<i>p, q, r</i>} = {1, 3, 4},

  б)  {<i>p, q, r</i>} = {2, 2, 3}.

а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника<i>ABCDEF</i>попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>равны. б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

Правильный пятиугольник <i>ABCDE</i>со стороной <i>a</i>вписан в окружность <i>S</i>. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной <i>b</i>(см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности <i>S</i>, равна <i>c</i>. Докажите, что <i>a</i>²+<i>b</i>²=<i>c</i>².

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57059/problem_57059_img_2.gif" border="1"></div>

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике <i>ABCDE</i>угол <i>ABC</i>вдвое больше угла <i>DBE</i>. Найдите величину угла <i>ABC</i>.

Окружности $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и $\delta$касаются данной окружности в вершинах <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Пусть <i>t</i>_{$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$} — длина общей касательной к окружностям $\alpha$и $\beta$(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); <i>t</i>_{$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$},<i>t</i>_{$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$}и т. д. определяются аналогично. Докажите, что <i>t</i>_{$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$}<...

Биссектриса угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>AC</i>$\leq$2<i>AD</i>.

Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны <i>d</i>_a,<i>d</i>_bи <i>d</i>_c. Докажите, что <i>d</i>_a+<i>d</i>_b+<i>d</i>_c=<i>R</i>+<i>r</i>.

Пусть $\alpha$=$\pi$/7. Докажите, что ${\frac{1}{\sin\alpha }}$=${\frac{1}{\sin 2\alpha }}$+${\frac{1}{\sin 3\alpha }}$.

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

Четырехугольник <i>ABCD</i>выпуклый; точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁таковы, что <i>AB</i>||<i>C</i>₁<i>D</i>₁,<i>AC</i>||<i>B</i>₁<i>D</i>₁и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁тоже выпуклый, причем $\angle$<i>A</i>+$\angle$<i>C</i><sub>1<...

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

Пусть <i>О</i> – центр правильного многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A_n</i>,  <i>X</i> – произвольная точка плоскости. Докажите, что:

   a)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_2.gif">    б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_3.gif">