Олимпиадные задачи из источника «глава 17. Осевая симметрия» для 3-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Докажите, что если многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.

Докажите, что если плоская фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси перпендикулярны.

На окружности с центром <i>O</i>даны точки<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_n, делящие ее на равные дуги, и точка <i>X</i>. Докажите, что точки, симметричные <i>X</i>относительно прямых<i>OA</i>₁,...,<i>OA</i>_n, образуют правильный многоугольник.

Точка <i>A</i>расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку <i>A</i>можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

Вписанная окружность касается сторон треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁; точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что  <i>A</i>₂<i>B</i>₂ || <i>AB</i>  и прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂ и <i>CC</i>₂ пересекаются в одной точке.

Пусть<i>l</i>₃=<i>S</i>_l₁(<i>l</i>₂). Докажите, что<i>S</i>_l₃=<i>S</i>_l₁<tt>o</tt><i>S</i>_l₂<tt>o</tt><i>S</i>_l₁.

Даны три прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Пусть<i>T</i>=<i>S</i>_a<tt>o</tt><i>S</i>_b<tt>o</tt><i>S</i>_c. Докажите, что<i>T</i><tt>o</tt><i>T</i> — параллельный перенос (или тождественное отображение).

Даны три прямые<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>. Докажите, что композиция симметрий<i>S</i>_c<tt>o</tt><i>S</i>_b<tt>o</tt><i>S</i>_aявляется симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.

а) Прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂параллельны. Докажите, что<i>S</i>_l₁<tt>o</tt><i>S</i>_l₂=<i>T</i>_2<b>a</b>, где <i>T</i>_<b>a</b> — параллельный перенос, переводящий <i>l</i>₁в <i>l</i>₂, причем<b>a</b>$\perp$<i>l</i>₁. б) Прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что<i>S</i&g...

Дана прямая <i>l</i>и две точки <i>A</i>и <i>B</i>по одну сторону от нее. Найдите на прямой <i>l</i>точку <i>X</i>так, чтобы длина ломаной<i>AXB</i>была минимальна.

Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.

Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается сторон<i>AC</i>и <i>BC</i>в точках <i>B</i>₁и <i>A</i>₁. Докажите, что если<i>AC</i>><i>BC</i>, то<i>AA</i>₁><i>BB</i>₁.

В треугольнике<i>ABC</i>проведена медиана<i>AM</i>. Докажите, что2<i>AM</i>$\ge$(<i>b</i>+<i>c</i>)cos($\alpha$/2).

На биссектрисе внешнего угла <i>C</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>M</i>, отличная от <i>C</i>. Докажите, что<i>MA</i>+<i>MB</i>><i>CA</i>+<i>CB</i>.

Постройте треугольник по данным серединам двух сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.

Даны три прямые <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃, пересекающиеся в одной точке, и точка <i>A</i>на прямой <i>l</i>₁. Постройте треугольник<i>ABC</i>так, чтобы точка <i>A</i>была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃.

Постройте треугольник<i>ABC</i>, если даны точки <i>A</i>,<i>B</i>и прямая, на которой лежит биссектриса угла <i>C</i>.

Даны три прямые <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃, пересекающиеся в одной точке, и точка <i>A</i>₁на прямой <i>l</i>₁. Постройте треугольник<i>ABC</i>так, чтобы точка <i>A</i>₁была серединой его стороны<i>BC</i>, а прямые <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃были серединными перпендикулярами к сторонам.

Дана прямая <i>MN</i> и две точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от нее. Постройте на прямой <i>MN</i> точку <i>X</i> так, что  ∠<i>AXM</i> = 2∠<i>BXN</i>.

Дан острый угол<i>MON</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>внутри его. Найдите на стороне<i>OM</i>точку <i>X</i>так, чтобы треугольник<i>XYZ</i>, где <i>Y</i>и <i>Z</i> — точки пересечения прямых<i>XA</i>и <i>XB</i>с <i>ON</i>, был равнобедренным:<i>XY</i>=<i>XZ</i>.

Дана прямая <i>l</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>, лежащие по одну сторону от нее. Постройте такую точку <i>X</i>прямой <i>l</i>, что<i>AX</i>+<i>XB</i>=<i>a</i>, где <i>a</i> — данная величина.

Постройте треугольник<i>ABC</i>по: а) <i>c</i>,<i>a</i>-<i>b</i>(<i>a</i>><i>b</i>) и углу <i>C</i>; б) <i>c</i>,<i>a</i>+<i>b</i>и углу <i>C</i>.

Постройте треугольник<i>ABC</i>по стороне <i>c</i>, высоте <i>h</i>_cи разности углов <i>A</i>и <i>B</i>.