Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения» для 6-11 класса - сложность 2 с решениями
глава 12. Вычисления и метрические соотношения
НазадДиаметры <i>AB</i>и <i>CD</i>окружности <i>S</i>перпендикулярны. Хорда <i>EA</i>пересекает диаметр <i>CD</i>в точке <i>K</i>, хорда <i>EC</i>пересекает диаметр <i>AB</i>в точке <i>L</i>. Докажите, что если <i>CK</i>:<i>KD</i>= 2 : 1, то <i>AL</i>:<i>LB</i>= 3 : 1.
Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.
а) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (0, 0), (<i>x</i><sub>1</sub>,<i>y</i><sub>1</sub>) и (<i>x</i><sub>2</sub>,<i>y</i><sub>2</sub>) равна${\frac{1}{2}}$|<i>x</i><sub>1</sub><i>y</i><sub>2</sub>–<i>x</i><sub>2</sub><i>y</i><sub>1</sub>|. б) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (<i>x</i><sub>1</sub>,<i>y</i><sub>1</sub>), (<i>x</i><sub>2</sub>,<i>y</i><sub>2</sub>) и (<i>x</i><sub>3</sub>,<i>y</i><sub>3</sub>) равна<...
Докажите, что расстояние от точки (<i>x</i><sub>0</sub>,<i>y</i><sub>0</sub>) до прямой<i>ax</i>+<i>by</i>+<i>c</i>= 0 равно${\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}}$.
Вписанная окружность касается стороны <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>в точке <i>K</i>. Докажите, что площадь треугольника равна <i>BK</i><sup> . </sup><i>KCctg</i>($\alpha$/2).
Окружность <i>S</i>с центром <i>O</i>на основании <i>BC</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>касается равных сторон <i>AB</i>и <i>AC</i>. На сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>взяты точки <i>P</i>и <i>Q</i>так, что отрезок <i>PQ</i>касается окружности <i>S</i>. Докажите, что тогда 4<i>PB</i><sup> . </sup><i>CQ</i>=<i>BC</i><sup>2</sup>.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>AD</i>и <i>BE</i>. Найдите величину угла <i>C</i>, если известно, что <i>AD</i><sup> . </sup><i>BC</i>=<i>BE</i><sup> . </sup><i>AC</i>и <i>AC</i>$\ne$<i>BC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i>высота <i>AH</i>равна медиане <i>BM</i>. Найдите угол <i>MBC</i>.
Докажите, что если ${\frac{1}{b}}$+${\frac{1}{c}}$=${\frac{1}{l_a}}$, то $\angle$<i>A</i>= 120<sup><tt>o</tt></sup>.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что <i>tg</i>$\alpha$+<i>tg</i>$\beta$+<i>tg</i>$\gamma$=<i>tg</i>$\alpha$<i>tg</i>$\beta$<i>tg</i>$\gamma$.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>($\alpha$/2) +<i>ctg</i>($\beta$/2) +<i>ctg</i>($\gamma$/2) =<i>p</i>/<i>r</i>; б) <i>tg</i>($\alpha$/2) +<i>tg</i>($\beta$/2) +<i>tg</i>($\gamma$/2) =$\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$${\frac{a}{r_a}}$+${\frac{b}{r_b}}$+${\frac{c}{r_c}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$/2.
Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что ${\frac{\cos^2(\alpha /2)}{a}}$+${\frac{\cos^2(\beta /2)}{b}}$+${\frac{\cos^2(\gamma /2)}{c}}$=${\frac{p}{4Rr}}$.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что <i>ab</i>cos$\gamma$+<i>bc</i>cos$\alpha$+<i>ca</i>cos$\beta$= (<i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>)/2.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) sin<sup>2</sup>$\alpha$+ sin<sup>2</sup>$\beta$+ sin<sup>2</sup>$\gamma$= (<i>p</i><sup>2</sup>-<i>r</i><sup>2</sup>- 4<i>rR</i>)/2<i>R</i><sup>2</sup>. б) 4<i>R</i><sup>2</sup>cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$=<i>p</i><sup>2</sup>- (2<i>R</i>+<i>r</i>)<sup>2</sup>.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что sin 2$\alpha$+ sin 2$\beta$+ sin 2$\gamma$= 4 sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$.
Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$+ cos 2$\gamma$+ 4 cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$+ 1 = 0; б) cos<sup>2</sup>$\alpha$+ cos<sup>2</sup>$\beta$+ cos<sup>2</sup>$\gamma$+ 2 cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$= 1. в)cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$+ cos 2$\gamma$=${\frac{OH^2}{2R^2}}$-${\frac{3}{2}}$, где<i>O</i>— центр описанной окружности,<i>H</i>— точка пересечения высот.
Докажите, что длину биссектрисы <i>l</i><sub>a</sub>можно вычислить по следующим формулам: а) <i>l</i><sub>a</sub>=$\sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$; б) <i>l</i><sub>a</sub>= 2<i>bc</i>cos($\alpha$/2)/(<i>b</i>+<i>c</i>); в) <i>l</i><sub>a</sub>= 2<i>R</i>sin$\beta$sin$\gamma$/cos(($\beta$-$\gamma$)/2); г) <i>l</i><sub>a</sub>= 4<i>p</i>sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2)/(sin$\beta$+ sin$\gamma$).
Докажите, что<div align="CENTER"><!-- MATH \begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*} --> <img width="523" height="59" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/57617/problem_57617_img_2.gif" alt="\begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*}"></div><br clear="ALL">
Докажите, что <i>r</i><sub>a</sub>+<i>r</i><sub>b</sub>+<i>r</i><sub>c</sub>= 4<i>R</i>+<i>r</i>.
Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{(p-a)(p-b)}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{(p-b)(p-c)}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{(p-c)(p-a)}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r^2}}$. </div>
Докажите, что${\frac{1}{h_a}}$+${\frac{1}{h_b}}$+${\frac{1}{h_c}}$=${\frac{1}{r_a}}$+${\frac{1}{r_b}}$+${\frac{1}{r_c}}$=${\frac{1}{r}}$.
Докажите, что ${\frac{2}{h_a}}$=${\frac{1}{r_b}}$+${\frac{1}{r_c}}$.
Докажите, что <i>S</i>=<i>cr</i><sub>a</sub><i>r</i><sub>b</sub>/(<i>r</i><sub>a</sub>+<i>r</i><sub>b</sub>).
Докажите, что <i>S</i>=<i>r</i><sub>c</sub><sup>2</sup><i>tg</i>($\alpha$/2)<i>tg</i>($\beta$/2)<i>ctg</i>($\gamma$/2).
Докажите, что медианы <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны тогда и только тогда, когда <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>= 5<i>c</i><sup>2</sup>.