Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многочлены» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>x</i>^2<i>n</i>+1 – (2<i>n</i> + 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (2<i>n</i> + 1)<i>xⁿ</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>n</i>²<i>x</i>^<i>n</i>+2 – (2<i>n</i>² + 2<i>n</i> – 1)<i>x</i>^<i>n</i>+1 + (<i>n</i> + 1)²<i>xⁿ – x</i> – 1  делится на  (<i>x</i> – 1)³.

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – три различных числа. Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_2.gif"><img width="200" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61059/problem_61059_img_3.gif">

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше

  а)  4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 8,     4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 9;

  б)  4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 11,     4<i>x</i>³ – 18<i>x</i>² + 24<i>x</i> = 12?

Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника, <i>p</i> – его полупериметр, а <i>r</i> и <i>R</i> – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от <i>p, r, R</i>, корнями которого являются числа <i>a, b, c</i>. Докажите равенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61045/problem_61045_img_2.gif"></div>

Числа  <i>x, y, z</i>  удовлетворяют системе

      <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61032/problem_61032_img_2.gif"><img width="134" height="70" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61032/problem_61032_img_3.gif">

Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно <i>a</i>.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>nx</i>^<i>n</i>+1 – (<i>n</i> + 1)<i>x ⁿ</i>  + 1  делится на  (<i>x</i> – 1)².

При каких <i>A</i> и <i>B</i> многочлен  <i>Ax</i>^<i>n</i>+1 + <i>Bxⁿ</i> + 1  имеет число  <i>x</i> = 1  не менее чем двукратным корнем?

<a>Постройте многочлен <i>R</i>(<i>x</i>) из задачи </a><a href="https://mirolimp.ru/tasks/161019">161019</a>, если:   а)  <i>P</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>⁶– 6<i>x</i>⁴– 4<i>x</i>³+ 9<i>x</i>²+ 12<i>x</i>+ 4;   б)  <i>P</i>(<i>x</i>) =<i>x</i>⁵+<i>x</i>⁴– 2<i>x</i>³– 2<i>x</i>²+<i>x</i>+ 1.

Для данного многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) опишем способ, который позволяет построить многочлен <i>R</i>(<i>x</i>), который имеет те же корни, что и <i>P</i>(<i>x</i>), но все кратности 1. Положим  <i>Q</i>(<i>x</i>) = (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>P'</i>(<i>x</i>))  и  <i>R</i>(<i>x</i>) = <i>P</i>(<i>x</i>)<i>Q</i>^–1(<i>x</i>).  Докажите, что

  а) все корни многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) будут корнями <i>R</i>(<i>x</i>);

  б) многочлен <i>R</i>(<i>x</i>) не имеет кратных корней....

Докажите, что корень <i>a</i> многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда  <i>P</i>(<i>a</i>) = 0  и  <i>P'</i>(<i>a</i>) = 0.

Разложите  <i>P</i>(<i>x</i> + 3)  по степеням <i>x</i>, где  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ – <i>x</i>³ + 1.

Пользуясь схемой Горнера, разложите  <i>x</i>⁴ + 2<i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> + 1  по степеням  <i>x</i> + 1.

Значение многочлена  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = <i>a_nxⁿ</i> + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀    (<i>a_n</i> ≠ 0)  в точке  <i>x = c</i>  можно вычислить, используя ровно <i>n</i> умножений. Для этого нужно представить многочлен <i>P_n</i>(<i>x</i>) в виде  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = (...(<i>a_nx + a</i><sub><...

При каком положительном значении <i>p</i> уравнения  3<i>x</i>² – 4<i>px</i> + 9 = 0  и  <i>x</i>² – 2<i>px</i> + 5 = 0  имеют общий корень?

Докажите, что из равенства  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>T</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  следует соотношение  (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = (<i>Q</i>(<i>x</i>), <i>R</i>(<i>x</i>)).

Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a_n<i>x</i>ⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀?

Докажите, что остаток от деления многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) на  <i>x – c</i>  равен <i>P</i>(<i>c</i>).

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – многочлены, причём <i>Q</i>(<i>x</i>) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют такие многочлены <i>T</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>), что

<i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>T</i>(<i>x</i>) + <i>R</i>(<i>x</i>)  и  deg <i>R</i>(<i>x</i>) < deg<i>Q</i>(<i>x</i>);  при этом <i>T</i>(<i>x</i>) и <i>R</i>(<i>x</i>) определяются однозначно.

Укажите все точки плоскости  (<i>x, y</i>),  через которые проходит хотя бы одна кривая семейства  <i>y = p</i>² + (2<i>p</i> – 1)<i>x</i> + 2<i>x</i>².

Известно, что уравнение  <i>x</i>² + 5<i>bx + c</i> = 0  имеет корни <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂,  <i>x</i>₁ ≠ <i>x</i>₂,  а некоторое число является корнем уравнения  <i>y</i>² + 2<i>x</i>₁<i>y</i> + 2<i>x</i>₂ = 0  и корнем уравнения  <i>z</i>² + 2<i>x</i>₂<i>z</i> + 2<i>x</i>₁ = 0.  Найти <i>b</i>.