Задача
Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим Q(x) = (P(x), P'(x)) и R(x) = P(x)Q–1(x). Докажите, что
а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.
Решение
Из равенства P(x) = R(x)Q(x) следует, что все корни многочлена R будут корнями P.
С другой стороны, пусть a – корень кратности n многочлена P, то есть P(x) = (x – a)nS(x), где S(x) не делится на x – a.
P'(x) = (x – a)nS'(x) + n(x – a)n–1S(x). Таким образом, P'(x), а значит, и Q(x) делится на (x – a)n–1, но не на (x – a)n. Теперь из равенства
P(x) = R(x)Q(x) следует, что R(x) делится на x – a, но не на (x – a)2. Это и значит, что все корни P являются корнями R, а R не имеет кратных корней.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь