Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 11 класса - сложность 4-5 с решениями
Найдите объём общей части двух прямых круговых цилиндров радиуса<i> a </i>, пересекающихся под прямым углом (т.е. их оси пересекаются под прямым углом).
Дана сфера радиуса 2 с центром в точке<i> O </i>. Из точки<i> K </i>, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках<i> L</i>1И<i> M</i>1, второй – в точках<i> L</i>2и<i> M</i>2, третий – в точках<i> L</i>3и<i> M</i>3, четвёртый – в точках<i> L</i>4и<i> M</i>4. Прямые<i> L</i>1<i>L</i>2и<i> M</i>1<i>M</i>2пересекаются в точке<i> A </i>, прямые<i> L</i>3<i>L</i>4и<i> M</i>3<i>M</i>4– в точке<i> B </i>. Найдите объём пирамиды<i> KOAB </i>, если<i> KO=</i>3,<i> AO=BO=...
Дана сфера радиуса 1 с центром в точке<i> O </i>. Из точки<i> A </i>, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках<i> B</i>1и<i> C</i>1, второй – в точках<i> B</i>2и<i> C</i>2, третий – в точках<i> B</i>3и<i> C</i>3, четвёртый – в точках<i> B</i>4и<i> C</i>4. Прямые<i> B</i>1<i>B</i>2и<i> C</i>1<i>C</i>2пересекаются в точке<i> E </i>, прямые<i> B</i>3<i>B</i>4и<i> C</i>3<i>C</i>4– в точке<i> F </i>. Найдите объём пирамиды<i> OAEF </i>, если<i> AO=</i>2,<i> EO=FO=...
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Хорды MN первой окружности и KL второй окружности имеют общую точку O. Длина отрезка PQ в пять раза больше длины отрезка OL. Длина отрезка OK в два раза больше длины отрезка MO, которая, в свою очередь, в два раза больше длины отрезка OL. Какие значения может принимать длина отрезка PO, если известно, что QO = 4, а длины отрезков MO и ON равны?
Вершины прямоугольника лежат на боковой поверхности конуса. Докажите, что две параллельные стороны прямоугольника перпендикулярны оси конуса.
Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:
-
все грани равновелики;
-
каждое ребро равно противоположному;
-
все грани равны;
-
центры описанной и вписанной сфер совпадают;
-
суммы углов при каждой вершине равны;
-
сумма плоских углов при каждой вершине равна 180<i><sup>o</sup> </i>;
-
развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;
-
все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;
-
ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;
-
параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;
11...
Стороны треугольника <i>ABC</i> видны из точки <i>T</i> под углами 120°. Докажите, что прямые, симметричные прямым <i>AT, BT</i> и <i>CT</i> относительно прямых <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно, пересекаются в одной точке.
На стороне<i> AB </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана точка<i> D </i>. Окружность, описанная около треугольника<i> BCD </i>, пересекает сторону<i> AC </i>в точке<i> M </i>, а окружность, описанная около треугольника<i> ACD </i>, пересекает сторону<i> BC </i>в точке<i> N </i>(точки<i> M </i>и<i> N </i>отличны от точки<i> C </i>). Пусть<i> O </i>– центр описанной окружности треугольника<i> CMN </i>. Докажите, что прямая<i> OD </i>перпендикулярна стороне<i> AB </i>.
Пусть<i> AD </i>– биссектриса треугольника<i> ABC </i>и прямая<i> l </i>касается окружностей, описанных около треугольников<i> ADB </i>и<i> ADC </i>, в точках<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков<i> BD </i>,<i> DC </i>и<i> MN </i>касается прямой<i> l </i>.
В параллелограмме<i> ABCD </i>на диагонали<i> AC </i>отмечена точка<i> K </i>. Окружность<i> s</i>1проходит через точку<i> K </i>и касается прямых<i> AB </i>и<i> AD </i>, причём вторая точка пересечения<i> s</i>1с диагональю<i> AC </i>лежит на отрезке<i> AK </i>. Окружность<i> s</i>2проходит через точку<i> K </i>и касается прямых<i> CB </i>и<i> CD </i>, причём вторая точка пересечения<i> s</i>2с диагональю<i> AC </i>лежит на отрезке<i> KC </i>. Докажите, что при всех положениях точки<i> K </i>на диагонали<i> AC </i>прямые, соединяющие центры окружностей<i> s&...
Дан выпуклый четырёхугольник<i> ABCD </i>, и проведены биссектрисы<i> l<sub>A</sub> </i>,<i> l<sub>B</sub> </i>,<i> l<sub>C</sub> </i>,<i> l<sub>D</sub> </i>внешних углов этого четырёхугольника. Прямые<i> l<sub>A</sub> </i>и<i> l<sub>B</sub> </i>пересекаются в точке<i> K </i>, прямые<i> l<sub>B</sub> </i>и<i> l<sub>C</sub> </i>– в точке<i> L </i>, прямые<i> l<sub>C</sub> </i>и<i> l<sub>D</sub> </i>– в точке<i> M </i>, прямые<i> l<sub>D</sub> </i>и<i> l<sub>A</sub> &...
Каждая из окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2и<i> S</i>3касается внешним образом окружности<i> S </i>(в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно) и двух сторон треугольника<i> ABC </i>(см.рис.). Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1пересекаются в одной точке.
Пусть<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>– стороны треугольника,<i> m<sub>a</sub> </i>,<i> m<sub>b</sub> </i>и<i> m<sub>c</sub> </i>– медианы, проведённые к этим сторонам,<i> D </i>– диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что <center><i>
<img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_4.gif"> <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_5.gif"> </i>6<i>D.
</i></center>
Даны полуокружность с диаметром <i>AB</i> и центром <i>O</i> и прямая, пересекающая полуокружность в точках <i>C</i> и <i>D</i>, а прямую <i>AB</i> – в точке <i>M</i> (<i>MB < MA,
MD < MC</i>). Пусть <i>K</i> – отличная от <i>O</i> точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AOC</i> и <i>DOB</i>. Докажите, что угол <i>MKO</i> – прямой.
Точки<i> A</i>2,<i> B</i>2и<i> C</i>2– середины высот<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1остроугольного треугольника<i> ABC </i>. Найдите сумму углов<i> B</i>2<i>A</i>1<i>C</i>2,<i> C</i>2<i>B</i>1<i>A</i>2и<i> A</i>2<i>C</i>1<i>B</i>2.
Дан четырёхугольник<i> ABCD </i>, в котором<i> AB=AD </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ABC=<img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ADC=</i>90<i><sup>o</sup> </i>. На сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>выбраны соответственно точки<i> F </i>и<i> E </i>так, что<i> DF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> AE </i>. Докажите, что<i> AF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> BE </i>.
Окружность, вписанная в четырёхугольник<i> ABCD </i>, касается его сторон<i> DA </i>,<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CD </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Пусть<i> S</i>1,<i> S</i>2,<i> S</i>3и<i> S</i>4– окружности, вписанные в треугольники<i> AKL </i>,<i> BLM </i>,<i> CMN </i>и<i> DNK </i>соответственно. К окружностям<i> S</i>1и<i> S</i>2,<i> S</i>2и<i> S</i>3,<i> S</i>3и<i> S</i>4,<i> S</i>4и<i> S</i>1проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугол...
Четырёхугольник <i> ABCD </i> описан около окружности ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Окружность ω<sub>1</sub> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>; окружность ω<sub>2</sub> касается стороны <i>AD</i> в точке <i>L</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что точки <i>O, K</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон <i>BC, AD</i> и центр окружности ω лежат на одной прямой.
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Хорды<i> BA </i>и<i> BC </i>внешней окружности касаются внутренней в точках<i> K </i>и<i> M </i>соответственно. Пусть<i> Q </i>и<i> P </i>– середины дуг<i> AB </i>и<i> BC </i>, не содержащих точку<i> N </i>. Окружности, описанные около треугольников<i> BQK </i>и<i> BPM </i>, пересекаются в точке<i> B</i>1. Докажите, что<i> BPB</i>1<i>Q </i>– параллелограмм.
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке<i> K </i>, пересекает внешнюю окружность в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Пусть<i> M </i>– середина дуги<i> AB </i>, не содержащей точку<i> N </i>. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника<i> BMK </i>, не зависит от выбора точки<i> K </i>на внутренней окружности.
Пусть<i> ABCD </i>– вписанный четырёхугольник,<i> O </i>– точка пересечения диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>. Пусть окружности, описанные около треугольников<i> ABO </i>и<i> COD </i>, пересекаются в точке<i> K </i>. Точка<i> L </i>такова, что треугольник<i> BLC </i>подобен треугольнику<i> AKD </i>. Докажите, что если четырёхугольник<i> BLCK </i>выпуклый, то он он является описанным.
Пусть <i>A'</i> – точка касания вневписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Прямая <i>a</i> проходит через точку <i>A'</i> и параллельна биссектрисе внутреннего угла <i>A</i>. Аналогично строятся прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> пересекаются в одной точке.
На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.
На плоскости<i> α </i>, проходящей через центр шара радиуса<i> R </i>, задана окружность с центром<i> O</i>1и радиусом<i> r</i>1, расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой<i> A </i>, принадлежащей шару и удалённой от плоскости<i> α </i>на расстояние<i> R </i>. Множество отличных от<i> A </i>точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью с центром<i> O</i>2и радиусом<i> r</i>2. Найдите расстояние от точки<i> O</i>2до плоскости<i> α </i>, если расстояние между точками<i> A </i>и<i> O</i>1равно<i> a </i>.
На плоскости<i> α </i>, проходящей через центр шара радиуса<i> R </i>, задана окружность с центром<i> O</i>1и радиусом<i> r</i>1, расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой<i> A </i>, принадлежащей шару и удалённой от плоскости<i> α </i>на расстояние<i> R </i>. Множество отличных от<i> A </i>точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью радиуса<i> r</i>2, плоскость которой образует угол<i> ϕ </i>с плоскостью<i> α </i>. Найдите расстояние между точками<i> A </i>и<i> O</i>1.