Пусть O – центр сферы. Выберем точку B на прямой OO2(перпендикулярной плоскости β ) так, чтобы для некоторой (а значит, для любой) точки K второй окружности прямая BK касалась сферы в точке K (рис.1). Тогда из прямоугольного треугольника BKO с высотой KO2, опущенной на гипотенузу, находим, что

OO2 = = , BO = = ,

BK = = = .

Докажем, что точка C пересечения прямой AB с плоскостью α совпадает с центром O1первой окружности. Через точку B параллельно поскости α проведём плоскость γ . Пусть прямая AK пересекает плоскости α и γ в точках L и M соответственно. Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A , B и K (рис.2). Получим окружность с центром в некоторой точке N , причём AN LC , т.к. плоскость AON содержит прямые OA и ON , перпендикулярные LC ( ON LC , т.к. прямая ON перпендикулярна плоскости ABK ). Значит, AN MB .

Так как BK – касательная к сфере, то BK NK . Треугольник ANK – равнобедренный, поэтому

KMB = 90^o - KAN = 90^o - AKN = BKM, BM = BK.

Кроме того, треугольники ALC и AMB подобны, поэтому

LC = BM· = BK· = · = ,

где коэффициент подобия k = не зависит от выбора точки K на второй окружности. Таким образом, точка C равноудалена от всех точек первой окружности, а значит, является её центром, т.е. совпадает с точкой O1.

Рассмотрим сечение сферы плоскостью AOO2, содержащей перпендикуляр AO , а значит, и перпендикуляр O2D к плоскости α . Треугольники ALO1и AMB подобны с коэффициентом

k = = = = .

Поэтому

AB = = .

По теореме косинусов из треугольника AOB находим, что

cos AOB = = =

= .

Наконец, из прямоугольного треугольника OO2D получаем, что

O2D = OO2 sin O2O1D = - cos AOB = .

.