Олимпиадная задача: ромб, вписанные окружности и касательные в четырехугольнике

1. Докажем сначала, что центры O1, O2, O3 и O4 окружностей S1, S2, S3 и S4, вписанных в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно, совпадают с серединами соответствующих дуг окружности S , вписанной в четырёхугольник ABCD (рис.1).

   Действительно, пусть O1' – середина меньшей дуги KL окружности S1. Тогда из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

   AKO1' = KLO1'= LKO1'.

   Аналогично, ALO1' = KLO1' , значит, O1' – точка пересечения биссектрис треугольника AKL . Следовательно, точки O1' и O1 совпадают.

   Аналогично докажем, что O2, O3 и O4 – середины меньших дуг соответственно LM , MN И KN окружности S .

2. Докажем, что центр I окружности, вписанной в треугольник KLM лежит на общей касательной окружностей S1 и S2, не совпадающей с прямой AB (рис.2).

   Из точки I проведём касательную IP к окружности S1 так, чтобы она пересекала меньшую дугу O1K окружности S . Аналогичным образом проведём касательную IQ к окружности S2.

   Биссектриса MI угла KML делит дугу KL пополам, поэтому точки M , I и O1 лежат на одной прямой. Аналогично докажем, что точки K , I и O2 лежат на одной прямой.

   Положим KML = 2α , MKL = 2γ . По теореме о внешнем угле треугольника

   O1IK = IMK + IKM = α + γ.

   С другой стороны,

   O1KI = O1KL + IKL = α + γ = O1IK.

   Значит, треугольник O1KI – равнобедренный, O1I=O1K .

   Пусть E – середина KL . Тогда окружность S1 касается KL в точке E.

   Прямоугольные треугольники O1PI и O1EK равны по катету ( O1P=O1E как радиусы окружности S1) и гипотенузе ( O1I =O1K по доказанному). Поэтому

   O1IP = O1KE = α = O1MK.

   Следовательно, IP || KM .

   Аналогично, IQ || KM . Следовательно, точки Q , I , P лежат на одной прямой, параллельной KM .

   Аналогично докажем, что общая касательная к окружностям S3 и S4, отличная от CD , также параллельна KM , а значит, эти две касательные параллельны.

   Аналогично докажем, что общие касательные к окружностям S1 и S4, S2 и S3 отличные соответственно от прямых AD и BC , также параллельны.

   Таким образом, четырёхугольник XYZT (рис.3), о котором говорится в условии задачи, – параллелограмм.

3. Докажем, что XYZT – ромб. Пусть a_ij – длина общей касательной к окружностям S_ij . Отрезки касательных, проведённых к окружности S1 из вершины A , равны между собой. Также равны между собой отрезки касательных, проведённых к окружности S1 из точки X . Аналогично для остальных вершин четырёхугольников ABCD и XYZT . Поскольку четырёхугольник ABCD – описанный, то AB+CD=AD+BC . Поэтому (a12+a34) - (a23+a41)= AB+CD - (AD+BC) = 0,
   (XY + ZT) - (YZ+XT) = (a12+a34) - (a23+a41)=0.

   Значит, XY + ZT = YZ+XT . Следовательно, XYZT – ромб.

Ответ задачи отсутствует