Олимпиадные задачи по теме «Методы решения задач с параметром» для 3-8 класса

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что   <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>.  Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.

Может ли вершина параболы  <i>у</i> = 4<i>х</i>² – 4(<i>а</i> + 1)<i>х + а</i>  лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении <i>а</i>?

Про квадратный трехчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² – <i>ax</i> + 1  известно, что  | <i>f</i>(<i>x</i>)| ≤ 1  при  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1.  Найдите наибольшее возможное значение <i>а</i>.

Квадратный трехчлен  <i>y</i> = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  не имеет корней и  <i>а + b + c</i> > 0.  Найдите знак коэффициента <i>с</i>.

При каких значениях <i>m</i> уравнения  <i>mx</i> – 1000 = 1001  и  1001<i>x = m</i> – 1000<i>x</i>  имеют общий корень?

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

Решить систему уравнений:

   <i>x + y = a,

   x</i>⁵ + <i>y</i>⁵ = <i>b</i>⁵.

Пусть <i>p</i> – произвольное вещественное число. Найдите все такие <i>x</i>, что сумма кубических корней из чисел  1 – <i>x</i>  и  1 + <i>x</i>  равна <i>p</i>.

Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.

При каком положительном значении <i>p</i> уравнения  3<i>x</i>² – 4<i>px</i> + 9 = 0  и  <i>x</i>² – 2<i>px</i> + 5 = 0  имеют общий корень?

При каких <i>a</i> и <i>b</i> многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>a + b</i>)<i>x</i>⁵ + <i>abx</i>² + 1  делится на  <i>x</i>² – 3<i>x</i> + 2?

Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ + <i>kxyz</i>  делилось на  <i>x + y + z</i>.

При каком значении <i>a</i> многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>¹⁰⁰⁰ + <i>ax</i>² + 9  делится на  <i>x</i> + 1?

Найдите все значения <i>x</i>, удовлетворяющие неравенству  (2 – <i>a</i>)<i>x</i>³ + (1 – 2<i>a</i>)<i>x</i>² – 6<i>x</i> + 5 + 4<i>a</i> – <i>a</i>² < 0  хотя бы при одном значении <i>a</i> из отрезка  [–1, 2].

Найдите все значения параметра <i>r</i>, при которых уравнение  (<i>r</i> – 4)<i>x</i>² – 2(<i>r</i> – 3)<i>x</i> + <i>r</i> = 0  имеет два корня, причём каждый из них больше –1.

При каком значении параметра <i>m</i> сумма квадратов корней уравнения  <i>x</i>² – (<i>m</i> + 1)<i>x</i> + <i>m</i> – 1 = 0  является наименьшей?

При каких значениях параметра <i>a</i> уравнение  (<i>a</i> – 1)<i>x</i>² – 2(<i>a</i> + 1)<i>x</i> + 2(<i>a</i> + 1) = 0  имеет только одно неотрицательное решение?

При каких значениях параметра <i>a</i> оба корня уравнения  (1 + <i>a</i>)<i>x</i>² – 3<i>ax</i> + 4<i>a</i> = 0  больше 1?

При каких значениях параметра <i>a</i> оба корня уравнения  (2 – <i>a</i>)<i>x</i>² – 3<i>ax</i> + 2<i>a</i> = 0  больше ½?

Изобразите ту часть плоскости (<i>x</i>;<i>y</i>), которая накрывается всевозможными кругами вида<div align="CENTER"> (<i>x</i> - <i>a</i>)² + (<i>y</i> - <i>a</i>)² $\displaystyle \leqslant$ 2 + <i>a</i>². </div>

Укажите все точки плоскости  (<i>x, y</i>),  через которые проходит хотя бы одна кривая семейства  <i>y = p</i>² + (2<i>p</i> – 1)<i>x</i> + 2<i>x</i>².

Известно, что уравнение  <i>x</i>² + 5<i>bx + c</i> = 0  имеет корни <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂,  <i>x</i>₁ ≠ <i>x</i>₂,  а некоторое число является корнем уравнения  <i>y</i>² + 2<i>x</i>₁<i>y</i> + 2<i>x</i>₂ = 0  и корнем уравнения  <i>z</i>² + 2<i>x</i>₂<i>z</i> + 2<i>x</i>₁ = 0.  Найти <i>b</i>.

При каких <i>a</i> уравнение

  а)  <i>ax</i>² + (<i>a</i> + 1)<i>x</i> – 2 = 0;

  б)  (1 – <i>a</i>)<i>x</i>² + (<i>a</i> + 1)<i>x</i> – 2 = 0

имеет два различных корня?

При каких <i>p</i> и <i>q</i> уравнению  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  удовлетворяют два различных числа 2<i>p</i> и  <i>p + q</i>?

Пусть  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i>.  При каких <i>p</i> и <i>q</i> выполняются равенства  <i>f</i>(<i>p</i>) = <i>f</i>(<i>q</i>) = 0?