Пусть  a = 0.  Если  b ≠ 0,  решений нет, если  b = 0  – бесконечное множество решений вида  (t, – t).

  Пусть  a ≠ 0.  Положим  xy = t.  Тогда  x⁵ + y⁵ = (x + y)⁵ – 5(x + y)³xy + 5(x + y)x²y² = a⁵ – 5a³t + 5at².

  Решая квадратное уравнение  5at² – 5a³t + a⁵ – b⁵ = 0,  находим     Дальнейшие вычисления имеют смысл при

a(a⁵ + 4b⁵) ≥ 0.  В результате получаем систему уравнений  x + y = a,  xy = t.

  Таким образом, x, y – решения уравнения  z² – az + t = 0,  то есть равны

При  a = b = 0  – бесконечное множество решений вида  (t, – t);

при  16b⁵ ≤ a⁵ < 0  и  0 < a⁵ ≤ 16b⁵  

В остальных случаях решений нет.