Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» - сложность 3 с решениями

В кубе <i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 6, точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины рёбер <i>AB</i> и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точка <i>K</i> расположена на ребре <i>DC</i> так, что

<i>DK</i> = 2<i>KC</i>.  Найдите

  а) расстояние от точки <i>N</i> до прямой <i>AK</i>;

  б) расстояние между прямыми <i>MN</i> и <i>AK</i>;

  в) расстояние от точки <i>A</i>₁ до плоскости треуго...

В пространстве даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2<i>;</i>0),<i> B</i>(5<i>;</i>2<i>;-</i>1),<i> C</i>(2<i>;-</i>1<i>;</i>4)и<i> D</i>(<i>-</i>2<i>;</i>2<i>;-</i>1). Найдите: а) расстояние от вершины<i> D </i>тетраэдра<i> ABCD </i>до точки пересечения медиан основания<i> ABC </i>; б) уравнение плоскости<i> ABC </i>; в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины<i> D </i>; г) угол между прямыми<i> BD </i>и<i> AC </i>; д) угол между гранями<i> ABC </i>и<i> ACD </i>; е) расстояние между прямыми<i> BD </i>и&lt...

B выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>:  <i>AC</i> ⊥ <i>BD</i>,  ∠<i>BCA</i> = 10°,  ∠<i>BDA</i> = 20°,  ∠<i>BAC</i> = 40°.  Найдите ∠<i>BDC</i>.

В тетраэдре<i> ABCD </i>ребро<i> AB </i>перпендикулярно ребру<i> CD </i>,<i> P </i>— произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки<i> O </i>до середин рёбер<i> AC </i>и<i> BD </i>равна сумме квадратов расстояний от точки<i> P </i>до середин рёбер<i> AD </i>и<i> BC </i>.

В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S_PAQ < S_BMC</i>?

На плоскости дан квадрат<i> ABCD </i>. Найдите минимум частного<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115718/problem_115718_img_2.gif"> </i>, где<i> O </i>— произвольная точка плоскости.

Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).

Чему равен периметр внутреннего пятиугольника <i>ABCDE</i>, если длина исходной ломаной равна 1? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115687/problem_115687_img_2.gif"></div>

Укажите точки на поверхности куба, из которых диагональ куба видна под наименьшим углом.

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Дан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Докажите, что если<i> α </i>,<i> β </i>и<i> γ </i>– углы остроугольного треугольника, то<i> sinα + sinβ + sinγ > </i>2.

Основание прямоугольного параллелепипеда<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1– прямоугольник<i> ABCD </i>со сторонами<i> AB=</i>2и<i> BC=</i>4. Высота<i> OO</i>1параллелепипеда равна 4 (<i> O </i>и<i> O</i>1– центры граней<i> ABCD </i>и<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1соответственно). Сфера радиуса 3 с центром на высоте<i> OO</i>1касается плоскости основания. Найдите сумму квадратов расстояний от точки, принадлежащей сфере, до всех вершин параллелепипеда при условии, что она максимальна.

Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние<i> d </i>от плоскости основания.

В кубе<i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 4, точки<i>E</i>и<i>F</i> ─ середины рёбер<i>AB</i>и<i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точка<i>P</i>расположена на ребре<i>CD</i>так, что<i>PD</i> = 3<i>PC</i>. Найдите

1. расстояние от точки<i>F</i>до прямой<i>AP</i>;

2. расстояние между прямыми<i>EF</i>и<i>AP</i>;

3. расстояние от точки<i>A</i>₁ до плоскости треугольника<i>EFP</i>.

В кубе<i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 6, точки<i>M</i>и<i>N</i> ─ середины рёбер<i>AB</i>и<i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точка<i>K</i>расположена на ребре<i>DC</i>так, что<i>CK</i> = 2<i>KD</i>. Найдите

1. расстояние от точки<i>N</i>до прямой<i>MK</i>;

2. расстояние между прямыми<i>MN</i>и<i>AK</i>;

3. расстояние от точки<i>A</i>₁ до плоскости треугольника<i>MKN</i>.

В кубе<i>ABCDA</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁, ребро которого равно 4, точки<i>E</i>и<i>F</i> ─ середины рёбер<i>AB</i>и<i>B</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, а точки<i>P</i>расположена на ребре<i>CD</i>так, что<i>CD</i> = 3<i>PD</i>. Найдите

1. расстояние от точки<i>F</i>до прямой<i>AP</i>;

2. расстояние между прямыми<i>EF</i>и<i>AP</i>;

3. расстояние от точки<i>A</i>до плоскости треугольника<i>EFP</i>.

Найдите все углы<i> α </i>, для которых набор чисел<i> sinα </i>,<i> sin</i>2<i>α </i>,<i> sin</i>3<i>α </i>совпадает с набором<i> cosα </i>,<i> cos</i>2<i>α </i>,<i> cos</i>3<i>α </i>.

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.

<i>N</i>³ единичных кубиков просверлены по диагонали и плотно нанизаны на нить, после чего нить связана в кольцо (то есть вершина первого кубика соединена с вершиной последнего). При каких <i>N</i> такое ожерелье из кубиков можно упаковать в кубическую коробку с ребром длины <i>N</i>?

Показать, что<i> sin </i>36<i>^o=</i>1/4<i><img src="/storage/problem-media/109145/problem_109145_img_2.gif"> </i>.

На плоскости даны точки<i> A </i>и<i> B </i>. Доказать, что множество всех точек<i> M </i>, удалённых от<i> A </i>в 3 раза больше, чем от<i> B </i>, есть окружность.

Найдите расстояние от точки<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y</i>0<i>;z</i>0)до плоскости<i> Ax+By+Cz+D=</i>0.