Олимпиадная задача по тригонометрии для 9-11 классов: неравенство синусов в остроугольном треугольнике

Первый способ ("тригонометрический").Докажем сначала вспомогательное утверждение:

Если α , β и γ – углы произвольного треугольника, то cos²α+ cos²β+ cos²γ+2 cosα cosβ cosγ=1. Действительно, так как γ=180^o-(α+β), то cos²α+ cos²β+ cos²γ+2 cosα cosβ cosγ-1 = cos²α+ cos²β+ cos²(α+β)-2 cosα cosβ cos(α+β)-1 = +-1 + cos²(α+β)-2 cosα cosβ cos(α+β) = + cos²(α+β)-( cos(α+β)+ cos(α-β)) cos(α+β) = cos(α+β) cos(α-β)+ cos²(α+β)- cos²(α+β)- cos(α-β) cos(α+β) = 0. Так как данные углы– острые, то из доказанного утверждения следует, что cos²α+ cos²β+ cos²γ=1-2 cosα cosβ cosγ < 1, поэтому sin²α+ sin²β+ sin²γ=3-( cos²α+ cos²β+ cos²γ) > 2. Так как для любого угла x треугольника sin x> sin² x , то sinα+ sinβ+ sinγ> sin²α+ sin²β+ sin²γ > 2, что и требовалось доказать. Второй способ("геометрический").

Пусть а , b и c – длины сторон остроугольного треугольника АВС , R – радиус его описанной окружности. Умножив обе части доказываемого неравенства на2R и используя следствие из теоремы синусов, получим равносильное неравенство: а + b + c > 4R . Пусть m_a , m_b и m_c – длины медиан АА' , BB' и CC' треугольника АВС , тогда а + b + c > m_a + m_b + m_c . Действительно, продолжив, например, медиану AA' на ее длину, из треугольника АВD получим, что b + c > 2m_a (см. рис. 11.6). Аналогично, а + c > 2m_b и а + b > 2m_c . Сложив почленно три полученных неравенства и разделив на 2, получим требуемое.

Отметим, что доказанное неравенство справедливо для любого треугольника.

Докажем теперь, что в остроугольном треугольнике m_a + m_b + m_c 4R . Пусть М – точка пересечения медиан, а О – центр описанной окружности остроугольного треугольника АВС (см. рис. 11.6). Так как О расположена внутри треугольника АВС , то она принадлежит одному из трех треугольников АМВ , ВМС или СМА . Без ограничения общности можно считать, что это треугольник АМВ , тогда АM + ВM АО + ВО , то есть m_a + m_b 2R m_a + m_b 3R .

Продолжим отрезок СО до пересечения с АВ в точке Р . Так как угол ОС'P – прямой, то угол С'ОP – острый, поэтому угол СOC' – тупой. Следовательно, СC₁ СO , то есть m_c R .

Ответ задачи отсутствует