Олимпиадная задача по стереометрии: площадь основания пирамиды наименьшего объёма

Пусть плоскость, проходящая через сторону AB основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD пересекает высоту PM пирамиды в точке K , причём MK = d . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофемы PG и PH лежащие в гранях APB и CPD . Тогда PGH – линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью основания, а GK – биссектриса этого угла.

Обозначим KGM = α , PM=h , AB=a . Тогда

PGM = 2α, MG = GH = AB = .

Из прямоугольных треугольников KMG и PMG находим, что

=MG = = ,

h=PM = MG tg PGM = · tg 2α = · = .

Тогда

V_PABCD = S_ABCD· h = a2h = · · = d3 · .

Обозначим tg2 α = t (0< t < 1, т.к.0<α <45^o ) и найдём значение t , при котором объём пирамиды минимален. Так как при рассматриваемых t верно неравенство t(1-t) , причём равенство достигается при t= , то

V_PABCD = d3 · = d3 · d3,

а равенство достигается при tg α = Тогда

S_ABCD = a2 = = 4d2· 2 = 8d2.

8d2.