Олимпиадная задача: расстояние от точки до плоскости, геометрия 8-9 класс

Через данную точку M0проведём прямую, перпендикулярную данной плоскости. В качестве направляющего вектора этой прямой возьмём вектор = (A;B;C). Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

Подставив x , y и z , выраженные из этой системы через t , в уравнение плоскости, найдём значение t , для которого точка M принадлежит данной плоскости:

A(x0+ At)+B(y0+Bt)+C(z0+Ct)+D = 0 (A2+B2+C2)t = -(Ax0+By0+Cz0+D)

t=-.

Расстояние ρ от точки M0до данной плоскости равно расстоянию между точками M0и найденной точкой пересечения проведённой прямой с данной плоскостью, т.е.

ρ = M0M = =

= = |t| =

=· = .

ρ = .