Олимпиадная задача по стереометрии и теории чисел — ожерелье из кубиков в коробке, 10-11 класс

  Выберем в ожерелье какой-нибудь кубик и отметим его номером 1. Затем занумеруем остальные кубики по порядку, двигаясь вдоль нити в одном из двух возможных направлений. В кубике с номером n обозначим через A_n ту принадлежащую нити вершину, которая примыкает к предыдущему кубику.

  Выберем систему координат, совместив начало с вершиной коробки, направив оси вдоль её ребер и взяв в качестве единицы длины длину ребра кубика. Если ожерелье упаковано в коробку, то принадлежащие нити вершины каждого кубика имеют различные по чётности абсциссы. Значит, сумма этих двух абсцисс для каждого кубика – нечётное число. Следовательно, в случае нечётного N сумма всех этих абсцисс по всем кубикам – также нечётное число. Но каждая абсцисса повторяется дважды: каждая вершина A_n принадлежит двум кубикам. Значит, указанная сумма чётна. Таким образом, при нечётном N упаковать ожерелье в коробку невозможно.

  При чётном N в каждом кубике проведём диагональ, связывающую вершину вида  (ч, ч, н)  (то есть вершину, у которой первые две координаты чётны, а третья – нечётна) с вершиной вида  (н, н, ч).  Рассмотрим граф, образовавшийся на вершинах такого вида. Нетрудно понять, что он связен. Кроме того, каждая вершина внутри куба соединена с восемью вершинами, на грани – с четырьмя, а на ребре – с двумя вершинами. Следовательно, по известному критерию (см. решение задачи 130806), в этом графе существует цикл, проходящий по каждому ребру ровно один раз. Уложив кубики в порядке обхода этого цикла так, что просверленная диагональ каждого попадёт на соответствующее ребро, получим требуемую укладку нашего ожерелья.

Ответ задачи отсутствует