Олимпиадная задача по планиметрии для 9–11 класса от Агахановa Н. Х.: длинные векторы и их сумма

Первое решение.Пусть сумма всех векторов отлична от нуля ( ||=s>0). Введем прямоугольную систему координат Oxy , в которой ось Ox сонаправлена с . Пусть – длинный вектор набора, т.е. он не короче, чем =- . Поскольку y -координаты векторов и равны по модулю, то x -координата a_x вектора по модулю не меньше, чем x -координата b_x=s-a_x вектора . Отсюда получаем, что a_x s/2. Теперь, если все векторы набора длинные, то сумма их x -координат не меньше ns/2>s , но эта сумма равна s . Противоречие. Второе решение.Обозначим данные векторы через a_k ( k=1,..,n ), а их сумму через . По условию || | - | . Возведем это неравенство в квадрат: ² - 2· + ² . Просуммировав такие неравенства по всем k от 1 до n , получаем0 n² - 2·( + + ..+), т.е.0(n-2) ² . Значит, = .

Ответ задачи отсутствует