Олимпиадная задача по стереометрии для 10-11 класса: расстояния в кубе

  а) ПустьP– ортогональная проекция точкиNна плоскость основанияABCD, аQ– основание перпендикуляра, опущенного из точкиPна прямуюAK. По теореме о трёх перпендикулярах  NQ⊥AK,  значит, расстояние от точкиNдо прямойAKравно длине отрезкаNQ.   ПродолжимAKиBCдо пересечения в точкеE. Из подобия треугольниковKCEиKDAнаходим, что  CE = AD·^KC/_DK= 3.   Обозначим  ∠AEB= α.  Тогда     Из прямоугольного треугольникаPQEнаходим, что    Следовательно,    б) Через точкуMпроведём прямую, параллельнуюAK. Пусть эта прямая пересекаетBCв точкеF. Тогда угол между прямымиMNиAKравен углу между прямымиMNиMF. Из прямоугольного треугольникаMBFнаходим, что     Значит,     Кроме того,     Рассмотрим треугольникMNF. Обозначим  ∠NMF= φ.  По теореме косинусов   ,     Из прямоугольного треугольникаADKнаходим, что  AK² =AD² +DK² = 36 + 16 = 52.   ПустьV– объём тетраэдраAKMN. Тогда, с одной стороны  V= ⅓S_AKM·NP= ⅓·½AM·AD·NP= ⅓·½·3·6·6 = 18,  с другой стороны, еслиd– искомое расстояние между прямымиAKиMN, то   Из уравнения    находимd.   в) Продолжим отрезок MK до пересечения с прямой BC в точке H. Из подобия треугольников KCH и MBH находим, что     откуда  CH = 12.

  Выберем прямоугольную систему координат, приняв за начало точку C, направив ось CX по лучу CD, ось CY – по лучу CB, а ось CZ – по лучу CC₁. Найдём координаты нужных нам точек:  C(0, 0, 0),  K(2, 0, 0),  A(6, 6, 6),  H(0, –12, 0),  N(0, 3, 6).  Уравнение плоскости MNK имеет вид

^x/₂ – ^y/₁₂ + ^z/_c = 1  (уравнение плоскости в отрезках), где  (0, 0, c)  – координаты точки пересечения плоскости MNK с осью CZ. Подставив в это уравнение координаты точки N, найдём, что  c = ²⁴/₅.  Значит, уравнение плоскости ABC –  12x – 2y + 5z – 24 = 0.

  Искомое расстояние от точки A₁ до плоскости MNK равно