Олимпиадная задача Агаханов Н.Х. по тригонометрии: равенство наборов sin и cos, 9–11 класс

α=+ . Первое решение. Из совпадения наборов следует, что

sin x+ sin2x+ sin3x= cos x+ cos2x+ cos3x, т.е.cr sin 2x(1+2 cos x)= cos2x(1+2 cos x).

1. 1+2 cos x=0 cos x=- x=+2π n sin3x=0, но 0 не принадлежит { cos x, cos2x, cos3x} .
2. sin2x= cos2x tg2x=1, x=+ . Наборы совпадают, так как 3x+x=+2π n cos3x= sin x , sin 3x= cos x .

Второе решение. Сложим 3 единичных вектора, образующих с осью Ox углы α ,2α ,3α соответственно. По условию у получившегося вектора равны координаты по x и по y , так как это суммы одних и тех же трех чисел. Значит, этот вектор, если он не равен нулю, направлен вдоль прямой, образующей угол π/4с осью Ox . Но направление суммы трех векторов совпадает с направлением вектора, образующего угол2α , поскольку два других симметричны относительно него. Итак,2α=+π k , откуда α=+ . Непосредственной проверкой убеждаемся, что все углы указанного вида подходят.

Осталось рассмотреть случай, когда сумма трех единичных векторов равна нулю. Нетрудно видеть, что это возможно лишь если углы между ними равны , откуда α=+π k или α=+π k . Легко видеть, что тогда sin3α=0, cosα0, cos2α0и cos3α0.

Ответ задачи отсутствует