Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» для 6-9 класса - сложность 1-3 с решениями

Решите неравенство:  [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.

Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif">   целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?

Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Последовательность(<i>a_n</i>)задана условиями<i> a₁= </i>1000000,<i> a_n+</i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа <i>a</i> и <i>b</i>, что оба числа  <i>a + b</i>  и  <i>aⁿ + bⁿ</i>  – целые?

Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> удовлетворяют равенству  <i>a</i>²<i>b</i>²(<i>a</i>²<i>b</i>² + 4) = 2(<i>a</i>⁶ + <i>b</i>⁶).  Докажите, что хотя бы одно из них иррационально.

Решите уравнение  {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.

Существуют ли такие попарно различные натуральные числа <i>m, n, p, q</i>, что  <i>m + n = p + q</i>  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109812/problem_109812_img_2.gif">

Числовое множество <i>M</i>, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов <i>a, b</i> из <i>M</i> число

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109787/problem_109787_img_2.gif">   рационально. Докажите, что для любого <i>a</i> из <i>M</i> число  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109787/problem_109787_img_3.gif">  рационально.

Последовательность натуральных чисел <i>a_n</i> строится следующим образом: <i>a</i>₀ – некоторое натуральное число;  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = &frac15; <i>a_n</i>,  если <i>a_n</i> делится на 5;

<i>a</i>_<i>n</i>+1 = [<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109784/problem_109784_img_2.gif"> <i>a_n</i>],  если <i>a_n</i> не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность <i>a_n</i> возрастает.

Числовое множество<i> M </i>, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов<i> a,b,c </i>из<i> M </i>число<i> a</i>2<i>+bc </i>рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное<i> n </i>, что для любого<i> a </i>из<i> M </i>число<i> a<img src="/storage/problem-media/109780/problem_109780_img_2.gif"> </i>рационально.

Найдите сумму <center> <img src="/storage/problem-media/109715/problem_109715_img_2.gif">

</center>

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> справедливо неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109704/problem_109704_img_2.gif">

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.

Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

С ненулевым числом разрешается проделывать следующие операции:<i> x<img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_3.gif"> </i>,<i> x<img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/109493/problem_109493_img_4.gif"> </i>. Верно ли, что из каждого ненулевого рационального числа можно получить каждое рациональное число с помощью конечного числа таких операций?

В числе  <i>a</i> = 0,12457...  <i>n</i>-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109196/problem_109196_img_2.gif">  Докажите, что α – иррациональное число.

Бесконечная последовательность чисел <i>x_n</i> определяется условиями:   <i>x</i>_<i>n</i>+1 = 1 – |1 – 2<i>x_n</i>|,  причём  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 1.

Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда <i>x</i>₁ рационально.

Решить уравнение  [<i>x</i>³] + [<i>x</i>²] + [<i>x</i>] = {<i>x</i>} − 1.

Существуют ли такие иррациональные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  <i>a </i> > 1,  <i>b</i> > 1,  и  [<i>a^m</i>]  отлично от  [<i>bⁿ</i>]  при любых натуральных числах <i>m</i> и <i>n</i>?

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно. б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

В ряд выписаны действительные числа <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₉₉₆. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

Дано <i>n</i> чисел, <i>p</i> – их произведение. Разность между <i>p</i> и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные <i>n</i> чисел иррациональны.

{<i>a_n</i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт  1 – |1 – 2<i>x</i>|.

  а) Докажите, что если <i>a</i>₁ рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.

  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i>₁ рационально.

Бесконечная последовательность чисел <i>x_n</i> определяется условиями:  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = 1 – |1 – 2<i>x_n</i>|,  причём  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 1.

  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда <i>x</i>₁ рационально.

  б) Сколько существует значений <i>x</i>₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом <i>T</i> (для каждого <i>T</i> = 2, 3, ...)?