Олимпиадная задача Гальперина: иррациональность чисел и произведения — теория чисел

Пусть x – одно из этих n чисел,  x + b₁,  x + b₂,  ...,  x + b_n–1  – остальные и  p = x(x + b₁)(x + b₂)...(x + b_n–1) = x + c,     (*)

где, по условию, c нечётно, а b₁, b₂, ..., b_n–1 чётны, поскольку  b_i = (p – x) – (p – (x + b_i))  – разность двух нечётных чисел. Равенство (*) можно записать, раскрыв скобки, в виде  xⁿ + a₁x^n–1 + a₂x^n–2 + ... + a_n–2x² + a_n–1x – c = 0,     (**)

где a₁, ..., a_n–2 чётны, а  a_n–1 = b₁b₂...b_n–1 – 1  и c нечётны. Согласно задаче 161013 все рациональные корни этого уравнения – целые. Но целым x быть не может: при целом x левая часть нечётна. Следовательно, число x иррационально.

Ответ задачи отсутствует