Доказательство алгебраического неравенства для любого n — олимпиадная задача Храброва

  При n = 1 неравенство обращается в равенство  0 = 0.  При  n > 1  докажем, что сумма дробных частей на каждом промежутке между двумя последовательными квадратами удовлетворяет неравенству     Из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным получаем     при 0 ≤ a ≤ m.

  Следовательно,  

  Просуммировав эти неравенства при  a = 0, 1, ..., m – 1  и неравенство     (получаемое делением на 2 обеих частей (2) при  a = m),  приходим к неравенству (1). Суммируя неравенство (1) по всем m от 1 до  n – 1,  получаем  

  Остаётся заметить, что  

Ответ задачи отсутствует