Олимпиадная задача по теории множеств и рациональных функций, 9-11 класс

Задача

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Решение

Возьмем четыре различных числа a,b,c,d M . Из рациональности чисел d2+ab и d2+bc следует рациональность bc-ab , откуда a2+ab=a2+bc-(bc-ab) . Аналогично, b2+ab . Поэтому для произвольных различных a,b M число q== . Тогда a=qb a2+ab=b2(q2+q)=l , b== , m,k . Значит, число b , где n=mk , рационально. Тогда c=· b для любого c M .