Олимпиадная задача по математике на последовательности для 8–10 классов от Голованова А. С.

Уберем первое слагаемое – оно равно 0 – и вместо суммы остальных 1000 слагаемых рассмотрим сумму

2/3+2² /3+2³/ 3+..+21000/3.

Это – сумма геометрической прогрессии, и она равна (21001-2)/ 3. Теперь заменим все ее слагаемые целыми частями. Заметим, что ни одно из этих слагаемых не является целым, а сумма любых двух последовательных слагаемых – целое число (потому что2^k/3+2^k+1/ 3=(3· 2^k )/3=2^k ). Ясно, что если сумма двух нецелых чисел – целое число, то сумма их целых частей меньше суммы самих чисел на 1 ([α+β]=[[α]+{α}+[β]+{β}]= [α]+[β]+[{α}+{β}]=[α]+[β]+[1]= [α]+[β]+1).

Поэтому при замене каждых двух последовательных членов нашей геометрической прогрессии целыми частями сумма уменьшается на 1, а так как в сумме всего 1000 слагаемых, то при замене целыми частями их всех она уменьшится на 500.

(21001-2)/3-500.