Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 3-11 класса - сложность 2 с решениями

Найдите наибольшее значение выражения  <i>х + у</i>,  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116997/problem_116997_img_2.gif">   <i>x</i> ∈ [0, ^3π/₂],   <i>y</i> ∈ [π, 2π].

Известно, что  tg α + tg β = <i>p</i>,  ctg α + ctg β = <i>q</i>.  Найдите   tg(α + β).

Сравните: sin 3 и sin 3°.

Найдите наименьшее положительное значение  <i>x</i> + <i>y</i>,  если  (1 + tg <i>x</i>)(1 + tg <i>y</i>) = 2.

Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?

При каких значениях <i>c</i> числа  sin α  и  cos α  являются корнями квадратного уравнения  5<i>x</i>² – 3<i>x + c</i> = 0  (α – некоторый угол)?

Углы треугольника<i> α, β, γ </i>удовлетворяют неравенствам<i> sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α </i>. Докажите, что треугольник остроугольный.

Найдите все пары чисел<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_2.gif"> </i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_3.gif"></i>), удовлетворяющие равенству<i> sin x+ sin y= sin</i>(<i>xy</i>).

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна ^π/₂. Докажите, что  cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.

Что больше:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_2.gif">   или   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_3.gif"> ?

Найти все действительные решения уравнения<i> x²+</i>2<i>x sin xy+</i>1<i>=</i>0.

Найти все решения системы уравнений <center><i>

<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_2.gif">

</i></center> удовлетворяющие условиям0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> x<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π,;; </i>0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> y<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π </i>.

Доказать, что <center><i>

A= sin²</i>(<i>α+β</i>)<i>+ sin²</i>(<i>β-α</i>)<i>-</i>2<i> sin</i>(<i>α+β</i>)<i> sin</i>(<i>β-α</i>)<i> cos </i>2<i>α

</i></center> не зависит от<i> β </i>.

Решить уравнение<i> 2-log_{sin x} cos x=log_{cos x} sin x. </i>

Из вершины <i>A</i> квадрата <i>ABCD</i> со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина <i>C</i> лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин <i>B</i> и <i>D</i> проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

Известно, что<i>tg</i> $\alpha$+<i>tg</i> $\beta$=<i>p</i>,<i>ctg</i> $\alpha$+<i>ctg</i> $\beta$=<i>q</i>. Найти <i>tg</i> ($\alpha$+$\beta$).

Известно число sin α. Какое наибольшее число значений может принимать  а) sin ^α/₂,   б) sin ^α/₃?

Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии <i>a₁, a₂,..., a₅</i>, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos <i>a₁</i>, cos <i>a₂</i>, cos <i>a₃</i>, а также числа sin <i>a₃</i>, sin <i>a₄</i> и sin <i>a₅</i> в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.

Сумма трёх положительных углов равна 90^<tt>o</tt>. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?

Решите систему уравнений:

    <i>x</i>² + 4sin²<i>y</i> – 4 = 0,

    cos <i>x</i> – 2cos²<i>y</i> – 1 = 0.

Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Пусть <i>x, y, z</i> – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98588/problem_98588_img_2.gif">

Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>cos <i>x</i>=<i>ax</i>+<i>b</i></td></tr> <tr><td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=0</td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=<i>bx</i></td></tr> <tr><td>cos <i>x</i>=<i>b</i></td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Найдите наибольшее значение выражения<div align="CENTER"> <i>x</i>$\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + <i>y</i>$\displaystyle \sqrt{1-x^2}$. </div>