Олимпиадная задача по планиметрии и тригонометрии: площадь четырёхугольника в квадрате
Задача
Из вершины A квадрата ABCD со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина C лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин B и D проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.
Решение
Решение 1:Искомая площадь – разность площадей двух треугольников с углом β при вершине A. Стороны этих треугольников легко выражаются через углы β1 и β2, образованные лучами со сторонами квадрата (см. рис.). Поэтому S = ½ cos β1 cos β2 sin β – ½ sin β1 sin β2 sin β = ½ cos (β1 + β2) sin β = ½ sin²β.
Решение 2: Пусть F и G – основания перпендикуляров, опущенных из B и D на луч l1 (ближний к B), H и E – основания перпендикуляров, опущенных из B и D на луч l2. Точки F и H лежат на окружности с диаметром AB, поэтому FH = sin β. Аналогично EG = sin β.
∠BHF = ∠BAF = ∠ADG = ∠AEG. Стороны HB и EA равных углов BHF и AEG перпендикулярны, значит, стороны HF и EG также перпендикулярны. Осталось применить к четырёхугольнику FEHG формулу, выражающую площадь через длины диагоналей и угол между ними (задача 154962).
Ответ
½ sin²β.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь