Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

Точку внутри треугольника назовём <i>хорошей</i>, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Через вершины <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂,...

Квадрат разрезан на несколько (больше одного) выпуклых многоугольников с попарно различным числом сторон.

Докажите, что среди них есть треугольник.

Восстановите треугольник с помощью циркуля и линейки по точке пересечения высот и основаниям медианы и биссектрисы, проведённых к одной из сторон.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l_a, l_b, l_c</i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.

Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Известно, что центр описанной окружности треугольника <i>BB</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой <i>AC</i>. Найдите угол <i>C</i> треугольника.

B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.

Hа сторонах треугольника <i>ABC</i> во внешнюю сторону построены правильные треугольники <i>ABC</i>₁, <i>BCA</i>₁, <i>CAB</i>₁. Hа отрезке <i>A</i>₁<i>B</i>₁ во внешнюю сторону треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ построен правильный треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₂. Докажите, что <i>C</i> – середина отрезка <i>C</i>₁<i>C</i><...

Диагонали вписанного четырехугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>K</i>.

Докажите, что касательная в точке <i>K</i> к описанной окружности треугольника <i>ABK</i>, параллельна <i>CD</i>.

Пусть <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон треугольника <i>ABC, I</i> – центр вписанной в него окружности, <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>C</i>₁<i>I</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>C</i>₃ – точка пересечения прямых <i>CC</i>₂ и <i>AB</i>. Докажите, что прямая <i>IC</i>₃ перпендикулярна прямой <i>AB</i>.

В окружность вписан треугольник <i>ABC</i>. Постройте такую точку <i>P</i>, что точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – точка пересечения медиан, <i>O</i> – центр вписанной окружности, <i>A'</i>, <i>B'</i>, <i>C'</i> – точки ее касания со сторонами <i>BC</i>, <i>CA</i>, <i>AB</i> соответственно. Докажите, что, если <i>CA' </i>= <i>AB</i>, то прямые <i>OM</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.

Дана окружность и точка <i>P</i> внутри неё. Два произвольных перпендикулярных луча с началом в точке <i>P</i> пересекают окружность в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Tочка <i>X</i> является проекцией точки <i>P</i> на прямую <i>AB</i>, <i>Y</i> – точка пересечения касательных к окружности, проведённых через точки <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что все прямые <i>XY</i> проходят через одну и ту же точку.

Bнутри окружности зафиксирована точка <i>P</i>. <i>C</i> — произвольная точка окружности, <i>AB</i> – хорда, проходящая через точку <i>P</i> и перпендикулярная отрезку <i>PC</i>. Tочки <i>X</i> и <i>Y</i> являются проекциями точки <i>P</i> на прямые <i>AC</i> и <i>BC</i>. Докажите, что все отрезки <i>XY</i> касаются одной и той же окружности.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Tочки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>AB</i>₁ и <i>BA</i>₁, точки <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i&...

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём <i>высотой</i> такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.

Bосстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что <i>ABCD</i> – квадрат?

Постройте четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность, по радиусам этих окружностей и углу между диагоналями.

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>X, Y</i>, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – проекции <i>X</i> на <i>BC, CA, AB</i>, а <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ – проекции <i>Y</i>. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на, соответственно, <i>B</i>₂<i>C</i>₂, <i>C</...

Три прямые проходят через точку <i>O</i> и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, на другой – <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, так что точка <i>C</i>₁ пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂ лежит на третьей прямой. Пусть <i>C</i>₂ – точка пересечения <i>A</i>₁<i>B</i>₂ и <i>A</i>₂&l...

В треугольнике <i>ABC</i> отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону <i>AB</i>, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его.

В треугольнике <i>ABC  M</i> – точка пересечения медиан, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ – точки касания этой окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AC, G</i> – точка пересечения прямых <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что угол <i>CGI</i> прямой тогда и только тогда, когда   <i>GM || AB</i>.

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i> равны <i>R</i> и <i>r</i>; <i>O, I</i> – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> – проекция точки <i>P</i> на прямую <i>OI</i>. Найдите расстояние <i>OQ</i>.