Олимпиадная задача по планиметрии: пересечение прямых треугольника для 8-10 класса

Олимпиадная задача по планиметрии про треугольник и окружность для 8-10 классов

Задача

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

Решение

Проведём через A₁, B₁ и C₁ прямые a, b и c, параллельные соответственно BC, CA и AB; покажем, что они вторично пересекают описанную окружность в одной и той же точке. Действительно, пусть c пересекает окружность вторично в точке P (если она касается окружности, то P = C₁). Тогда, поскольку AB || C₁P и AA₁ || CC₁, (направленные) дуги BP, C₁A и A₁C равны. Это и означает, что A₁P || BC, то есть a проходит через P. Аналогично b проходит через P (см. рис.).

ТочкиC₁иPсимметричны относительно серединного перпендикуляра кAB, а точкиC₁иC₂симметричны относительноAB; это значит, чтоPиC₂симметричны относительно серединыC₀отрезкаAB; аналогично,A₂иB₂симметричны точкеPотносительно серединA₀иB₀соответствующих сторон треугольникаABC. Таким образом,