Олимпиадная задача по планиметрии: расстояние OQ в треугольнике ABC

Пусть A', B', C' – центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Тогда I – ортоцентр треугольника A'B'C', A, B, C – основания его высот и, значит, описанная окружность Ω треугольника ABC является окружностью Эйлера треугольника A'B'C'. Следовательно, радиус описанной окружности Ω' треугольника A'B'C' равен 2R, а её центром является точка O', симметричная I относительно O. Кроме того, точки A, B лежат на окружности с диаметром A'B'. Прямая AB является общей хордой этой окружности и окружности Ω, а внешняя биссектриса угла C – общей хордой этой окружности и окружности Ω'. Поэтому точка P является радикальным центром трёх окружностей, а прямая PQ – радикальной осью окружностей Ω и Ω' (так как она перпендикулярна к линии центров OO'). Следовательно,  OQ² – R² = (OQ + OO')² – 4R². Поскольку  O'O² = OI² = R² – 2Rr  (см. задачу 152464), получаем, что