Олимпиадная задача по планиметрии для 9-11 классов от Заславского А. А.

Продолжив луч BC до пересечения с описанной окружностью треугольника BB₁C₁, получим точку K (см. рис.). Вписанные углы ∠C₁BB₁ и ∠KBB₁ равны (так как BB₁ — биссектриса), значит, равны дуги, на которые они опираются, B₁C₁ = B₁K. При этом точки K и C₁ лежат на окружности (описанной вокруг треугольника BB₁C₁), центр которой принадлежит прямой AC. Следовательно, K и C₁ симметричны друг другу относительно прямой AC. Получаем равенство трёх углов ∠BCC₁ = ∠C₁CB₁ = ∠B₁CK. Сумма этих углов равна 180°, стало быть, каждый из них равен 60°, и ∠ACB = ∠BCC ₁ + ∠C₁CB₁ = 120°.

Комментарии. 1. Легко показать, что центр O окружности может лежать только на продолжении отрезка AC за точку C и, значит, прямая BC пересекает окружность именно так, как показано на рисунке.2. Возможны также решения, основанные на том, что точки B, C, O, C₁ лежат на одной окружности, или на том, что описанная окружность треугольника BC₁B₁ является окружностью Аполлония для точек A и C.

120°.