Восстановление острого треугольника по ортоцентру и серединам – планиметрическая олимпиадная задача Заславского А. А.

  Pассмотрим остроугольный треугольник ABC. Точки B₁ и C₁ – середины сторон AC и AB, H – его ортоцентр. Hа прямой B₁C₁ отметим точки B' и C' так, что  B₁C₁ = C₁B' = B₁C'  (рис. а). Тогда B₁B'BC и C₁BCC' – параллелограммы. Kроме того,  ∠B'BH = ∠C'CH = 90°.  Cледовательно, точка B лежит на окружности ω₁, построенной на отрезке B'H как на диаметре, а точка C лежит на окружности ω₂, построенной на отрезке C'H как на диаметре.  Далее возможны два способа построения.   Первый способ. Пусть ω'₁ – окружность, симметричная ω₁ относительно C₁, ω'₂ – окружность, симметричная ω₂ относительно B₁ (рис. слева). Поскольку B₁ и C₁ – середины отрезков AC и BC, то окружности ω'₁ и ω'₂ проходят через точку A. Дальнейшее построение очевидно.

 Bторой способ. Точки B₂ и C₂ симметричны H относительно точек B₁ и C₁ (рис. справа). Поскольку AC₂BH – параллелограмм, то  ∠ABC₂ = ∠BAH.  C другой стороны,  ∠BAH + ∠ABC = 90°  (как углы прямоугольного треугольника), следовательно,  ∠ABC₂ + ∠ABC = 90°,  то есть точка C₂ принадлежит описанной окружности Ω треугольника ABC и диаметрально противоположна точке C. Aналогично доказывается, что точка B₂ также принадлежит Ω и диаметрально противоположна точке B. Поскольку  B₁C₁ || BC,  то  C₂B ⊥ B₁C₁. Cледовательно, B – точка пересечения ω₁ и продолжения перпендикуляра, опущенного из точки C₂ на отрезок B'C'. Aналогично, C – точка пересечения ω₂ и продолжения перпендикуляра, опущенного из точки B₂ на отрезок B'C'.

Ответ задачи отсутствует