Олимпиадные задачи из источника «Всероссийская олимпиада по математике» для 7 класса - сложность 3 с решениями

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2<i>n+</i>1)-угольнике  (<i>n</i> > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

Существуют ли такие простые числа <i>p</i>₁, <i>p</i>₂, ..., <i>p</i>₂₀₀₇, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_2.gif">  делится на <i>p</i>₂,  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_3.gif">  делится на <i>p</i>₃, ...,  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111788/problem_111788_img_4.gif">  делится на <i>p</i>₁?

Медиану <i>AA</i>₀ треугольника <i>ABC</i> отложили от точки <i>A</i>₀ перпендикулярно стороне <i>BC</i> во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через <i>A</i>₁. Аналогично строятся точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Найдите углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, если углы треугольника <i>ABC</i> равны 30°, 30° и 120°.

В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?

Каждая деталь конструктора "Юный паяльщик" – это скобка в виде буквы П, состоящая из трёх единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаять полный проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1? (Каркас состоит из 27 точек, соединённых единичными отрезками; любые две соседние точки должны быть соединены ровно одним проволочным отрезком.)

В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)

Набор пятизначных чисел ${N_1, \dots, N_k}$ таков, что любое пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним из чисел $N_1, \dots, N_k$. Найдите наименьшее возможное значение $k$.

Может ли в наборе из шести чисел  (<i>a, b, c</i>, ^<i>a</i>²/_<i>b</i>, ^<i>b</i>²/_<i>c</i>, ^<i>c</i>²/_<i>a</i>},  где <i>a, b, c</i> – положительные числа, оказаться ровно три различных числа?

В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.

Имеется набор гирь со следующими свойствами:<ol type="a"> <li>В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу.

</li><li>Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса. </li></ol>Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?

По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?

Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел<i> a </i>и<i> b </i>(<i> a>b </i>) хотя бы одно из чисел<i> a+b </i>или<i> a-b </i>тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.

Для некоторых натуральных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> выполняются равенства  <i>^a/_c = ^b/_d</i> = ^<i>ab</i>+1/_<i>cd</i>+1.  Докажите, что  <i>a = c</i>  и  <i>b = d</i>.

Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на три многоугольника, один из которых должен быть тупоугольным треугольником, так, чтобы потом сложить из них прямоугольник. (Переворачивать части можно).

На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно один знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода.

Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

На плоскости отметили <i>n</i>  (<i>n</i> > 2)  прямых, проходящих через одну точку <i>O</i> таким образом, что для каждых двух из них найдётся такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведённые прямые делят полный угол на равные части.

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?

Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?

На плоскости расположено[<i><img src="/storage/problem-media/110102/problem_110102_img_2.gif"> n</i>]прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что любой прямоугольник пересекается хотя бы с<i> n </i>прямоугольниками. Доказать, что найдется прямоугольник, пересекающийся со всеми прямоугольниками.

Натуральное число <i>n</i> назовём хорошим, если каждое из чисел <i>n</i>,   <i>n</i> + 1,  <i>n</i> + 2  и  <i>n</i> + 3  делится на сумму своих цифр. (Например,  <i>n</i> = 60398  – хорошее.)

Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?

Уголком размера<i> n</i>×<i>m </i>, где<i> m,n<img src="/storage/problem-media/110080/problem_110080_img_2.gif"></i>2, называется фигура, получаемая из прямоугольника размера<i>n</i>×<i>m</i>клеток удалением прямоугольника размера (<i>n-</i>1)×(<i>m-</i>1) клеток. Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат. Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при правильной игре?