Олимпиадные задачи из источника «1997-1998»

На выборах в городскую Думу каждый избиратель, если он приходит на выборы, отдает голос за себя (если он является кандидатом) и за тех кандидатов, которые являются его друзьями. Прогноз социологической службы мэрии считается хорошим, если в нем правильно предсказано количество голосов, поданных хотя бы за одного из кандидатов, и нехорошим в противном случае. Докажите, что при любом прогнозе избиратели могут так явиться на выборы, что этот прогноз окажется нехорошим.

У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы собрались у одного крестьянина.

<center> <img src="/storage/problem-media/109962/problem_109962_img_2.gif"> </center> Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.

На плоскости дано множество из<i> n<img src="/storage/problem-media/109961/problem_109961_img_2.gif"></i>9точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все<i> n </i>точек лежат на двух окружностях.

В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте. Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынуть карту, Ваня загадывает какую-нибудь масть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадывать масть, карт которой в колоде осталось не меньше, чем карт любой другой масти, то загаданная масть совпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.

Существуют ли такие <i>n</i>-значные числа <i>M</i> и <i>N</i>, что все цифры <i>M</i> – чётные, все цифры <i>N</i> – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи <i>M</i> или <i>N</i> хотя бы один раз и <i>M</i> делится на <i>N</i>?

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₉₉₈. Из середины стороны <i>A</i>₁<i>A</i>₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₄, ..., <i>A</i>₁₉₉₈<i>A</i>₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

На концах клетчатой полоски размером1×101клеток стоят две фишки: слева – фишка первого игрока, справа – второго. За ход разрешается сдвинуть свою фишку в направлении противоположного края полоски на 1, 2, 3 или 4 клетки. При этом разрешается перепрыгивать через фишку соперника, но запрещается ставить свою фишку на одну клетку с ней. Выигрывает тот, кто первым достигнет противоположного края полоски. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его соперник?

Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.

Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?

Имеется квадрат клетчатой бумаги размером 102×102 клетки и связная фигура неизвестной формы, состоящая из 101 клетки. Какое наибольшее число таких фигур можно с гарантией вырезать из этого квадрата? Фигура, составленная из клеток, называется связной, если любые две ее клетки можно соединить цепочкой ее клеток, в которой любые две соседние клетки имеют общую сторону.

Назовём десятизначное число <i>интересным</i>, если оно делится на 11111 и все его цифры различны. Сколько существует интересных чисел?

Длины сторон некоторого треугольника и диаметр вписанной в него окружности являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите все такие треугольники.

Загадано число от 1 до 144. Разрешается выделить одно подмножество множества чисел от 1 до 144 и спросить, принадлежит ли ему загаданное число. За ответ да надо заплатить 2 рубля, за ответ нет – 1 рубль. Какая наименьшая сумма денег необходима для того, чтобы наверняка угадать число?

Куб со стороной<i> n </i>(<i> n<img src="/storage/problem-media/109948/problem_109948_img_2.gif"></i>3) разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба?

В пятиугольнике <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄<i>A</i>₅ проведены биссектрисы <i>l</i>₁, <i>l</i>₂, ..., <i>l</i>₅ углов <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₅ соответственно. Биссектрисы <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂ пересекаются в точке <i>B</i>₁, <i>l</i>₂ и <i>l</i...

Решите уравнение  {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.

В первые 1999 ячеек компьютера в указанном порядке записаны числа: 1, 2, 4,2<i></i>1998. Два программиста по очереди уменьшают за один ход на единицу числа в пяти различных ячейках. Если в одной из ячеек появляется отрицательное число, то компьютер ломается, и сломавший его оплачивает ремонт. Кто из программистов может уберечь себя от финансовых потерь независимо от ходов партнера, и как он должен для этого действовать?

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

Пусть<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=x²+ax+b cos x </i>. Найдите все значения параметров<i> a </i>и<i> b </i>, при которых уравнения<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=</i>0и<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>=</i>0имеют совпадающие непустые множества действительных корней.

В последовательности натуральных чисел {<i>a_n</i>},  <i>n</i> = 1, 2, ...,  каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных <i>n</i> и <i>m</i> выполнено неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109941/problem_109941_img_2.gif">   Докажите, что тогда  |<i>a_n – n</i>| < 2000000  для всех натуральных <i>n</i>.

Даны два правильных тетраэдра с ребрами длины<i> <img src="/storage/problem-media/109940/problem_109940_img_2.gif"> </i>, переводящихся один в другой при центральной симметрии. Пусть<i> ϕ </i>– множество середин отрезков, концы которых принадлежат разным тетраэдрам. Найдите объем фигуры<i> ϕ </i>.

Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть<i> A </i>– количество черных отрезков на периметре,<i> B </i>– количество белых, и пусть многоугольник состоит из<i> a </i>черных и<i> b </i>белых клеток. Докажите, что<i> A-B=</i>4(<i>a-b</i>).

На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 7¹⁹⁹⁸. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 1998⁷?

Имеется таблица <i>n×n</i>, в  <i>n</i> – 1  клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках – нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?