Олимпиадная задача по математике: можно ли получить 2002 из 1234?

Первое решение. Из последней цифры можно получить 2 только, прибавив к двум последним цифрам a раз по единице и вычтя из них a+2раза по единице. Эти операции уменьшают цифру, стоящую на третьем месте, на 2. Аналогично, операции, превращающие первую цифру в 2, увеличат вторую цифру на 1. Ясно, что порядок операций можно менять, если рассматривать четырехзначное число как четверку целых чисел (возможно отрицательных, либо превосходящих 9). Выполнив вначале операции, заменяющие 4 на 2 и 1 на 2, мы получим число 2312, которое операциями над двумя средними цифрами нельзя превратить в 2002. Второе решение. Пусть на доске написано число . Тогда рассматриваемые операции не изменяют число M=(d+b)-(a+c), так как они увеличивают (уменьшают) на единицу одно число из первой скобки, и одно число – из второй. Для числа 1234 M1=(4+2) – (1+3)=2, для числа 2002 M2=(2+0) – (2+0)=0. Поэтому требуемое невозможно. Третье решение. Заметим, что описанные операции не меняют остаток от деления числа на 11 (мы прибавляем либо вычитаем одно из чисел 1100, 110, 11). Но числа 1234 и 2002 имеют разные остатки от деления на 11.

Нельзя.