Олимпиадная задача: Автомобили "Ауди" и БМВ на перекрёстке (текстовые задачи, 3/5)

Решение 1:   Пусть в 17.00 "Ауди" (А) находился на расстоянии x, а БМВ (Б) – на расстоянии 2x от перекрестка (П), v – скорость автомобилей. Если бы в 17.00 А и Б уже проехали П, то в 18.00 они были бы на расстоянии  x + v  и  2x + v  от П, но отношение этих расстояний не равно 2. Аналогично невозможно, чтобы в 18.00 автомобили двигались в сторону П. Значит, какой-то из них пересёк перекресток между 17.00 и 18.00. Это не мог быть Б, так как если А пересекает П позже, то в 17.00 Б ближе к П, чем А; а если А пересекает П раньше, то в 18.00 А находится дальше от П, чем Б. Значит, между 17.00 и 18.00 А пересёк П, а Б – нет.

  Тогда в 18.00 А находился на расстоянии  z – x  от П, а Б – на расстоянии  2x – v  (если он двигался в 18.00 к перекрёстку), либо  2x + v  от П. В первом случае  2x – v = 2(v – x),  то есть  3v = 4x.  Во втором –  2x + v = 2(z – x),  то есть  v = 4x.  Значит, в 18.00 А находился либо на расстоянии ^x/₃, либо на расстоянии 3x от П и поэтому он пересек П либо в 17.45, либо в 17.15.

Решение 2:   То, что дороги перпендикулярны, не имеет никакого значения: прямую, по которой движется БМВ (B) можно повернуть на 90°, при этом расстояние от B до перекрёстка не изменится. Сделать это можно так, что A ("Ауди") и B будут двигаться в одном направлении. Посмотрим на ситуацию с точки зрения водителей: автомобили стоят на месте, а точка перекрёстка (P) движется. В 17 и 18 часов точка P проходит через точки P₁ и P₂, которые делят отрезок AB в отношении 1 : 2 (внутренним и внешним образом соответственно). При этом  AP₁ = ⅓ AB,  AP₂ = AB,  то есть  AP₁ : AP₂ = 1 : 3.  Значит, если точка P в 17.00 проходит через P₁, а в 18.00 – через P₂, то она пройдёт через точку A в 17.15. Если же P в 17.00 проходит через P₂, а в 18.00 – через P₁, то она пройдёт через точку A в 17.45.

В 17.15 или в 17.45.