Олимпиадные задачи из источника «2015-2016»

В треугольнике <i>ABC</i> медианы <i>AM_A, BM_B</i> и <i>CM_C</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Построим окружность Ω_<i>A</i>, проходящую через середину отрезка <i>AM</i> и касающуюся отрезка <i>BC</i> в точке <i>MA</i>. Аналогично строятся окружности Ω_<i>B</i> и Ω_<i>C</i>. Докажите, что окружности Ω_<i>A</i>, Ω_<i>B</i> и Ω_<i>C</i> имеют общую точку.

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство   ¹/_<i>a</i>³ + ¹/_<i>b</i>³ + ¹/_<i>c</i>³ + ¹/_<i>d</i>³ ≤ ¹/_{<i>a</i>³<i>b</i>³<i>c</i>³<i>d</i>³}.

В стране есть  <i>n</i> > 1  городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиарейсами. При этом между каждыми двумя городами существует единственный авиамаршрут (возможно, с пересадками). Мэр каждого города <i>X</i> подсчитал количество таких нумераций всех городов числами от 1 до <i>n</i>, что на любом авиамаршруте, начинающемся в <i>X</i>, номера городов идут в порядке возрастания. Все мэры, кроме одного, заметили, что их результаты подсчётов делятся на 2016. Докажите, что и у оставшегося мэра результат также делится на 2016.

Пусть <i>n</i> – натуральное число. На  2<i>n</i> + 1  карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении  *<i>x</i>^2<i>n</i> + *<i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + ... *<i>x</i> + *  так, чтобы полученный многочлен не имел <i>целых</i> корней. Всегда ли это можно сделать?

В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями  <i>x ± y ± z = n</i>  (при всех целых <i>n</i>). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка  (<i>x</i>₀, <i>y</i>₀, <i>z</i>₀)  с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное <i>k</i>, при котором точка  (<i>kx</i>₀, <i>ky</i>₀, <i>kz</i>₀)  лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

На клетчатый лист бумаги размера 100×100 положили несколько попарно неперекрывающихся картонных равнобедренных прямоугольных треугольничков с катетом 1; каждый треугольничек занимает ровно половину одной из клеток. Оказалось, что каждый единичный отрезок сетки (включая граничные) накрыт ровно одним катетом треугольничка. Найдите наибольшее возможное число клеток, не содержащих ни одного треугольничка.

В пространстве даны три отрезка <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i>₂, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке <i>P</i>. Обозначим через <i>O_ijk</i> центр сферы, проходящей через точки <i>A_i, B_j, C_k</i> и <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>O</i>₁₁₁<i>O</i>₂₂₂, <i>O</i>₁₁₂<i>O</i><sub>2...

Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, в котором  <i>AC < BC; M</i> – середина стороны <i>AB</i>. В описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведён диаметр <i>CC'</i>. Прямая <i>CM</i> пересекает прямые <i>AC'</i> и <i>BC'</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Перпендикуляр к прямой <i>AC'</i>, проведённый через точку <i>K</i>, перпендикуляр к прямой <i>BC'</i>, проведённый через точку <i>L</i>, и прямая <i>AB</i> образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка <i>X</i>, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка <i>X</i> будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

Дан кубический многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>). Назовём <i>циклом</i> такую тройку различных чисел  (<i>a, b, c</i>),  что  <i>f</i>(<i>a</i>) = <i>b,  f</i>(<i>b</i>) = <i>c</i>  и  <i>f</i>(<i>c</i>) = <i>a</i>.  Известно, что нашлись восемь циклов  (<i>a_i, b_i, c_i</i>),  <i>i</i> = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  <i>a_i + b_i + c_i</i>  есть хотя бы три различных.

Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> выбрана на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>PQ</i> ⊥ <i>AC</i>.

Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников <i>APD</i> и <i>BQD</i>, параллельна прямой <i>AD</i>.

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство   ¹/_<i>a</i>² + ¹/_<i>b</i>² + ¹/_<i>c</i>² + ¹/_<i>d</i>² ≤ ¹/_{<i>a</i>²<i>b</i>²<i>c</i>²<i>d</i>²}.

Окружность ω вписана в треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>AB < AC</i>.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Точка <i>X</i> выбирается на отрезке <i>A'A</i> так, что отрезок <i>A'X</i> не пересекает ω. Касательные, проведённые из <i>X</i> к ω, пересекают отрезок <i>BC</i> в точках <i>Y</i> и <i>Z</i>. Докажите, что сумма  <i>XY + XZ</i>  не зависит от выбора точки <i>X</i>.

Квадрат разбит на  <i>n</i>² ≥ 4  прямоугольников  2(<i>n</i> – 1)  прямыми, из которых  <i>n</i> – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  <i>n</i> – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2<i>n</i> прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида <b>Т</b> – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)

Саша выбрал натуральное число  <i>N</i> > 1  и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители:  <i>d</i>₁ < ... < <i>d_s</i>  (так что  <i>d</i>₁ = 1  и

<i>d_s</i> = <i>N</i>).  Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных  <i>s</i> – 1  чисел оказалась равной

<i>N</i> – 2.  Какие значения могло принимать <i>N</i>?

Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>KS || AC</i>  и  <i>LT || AB</i>.  Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера <i>a</i>×<i>b</i> дать либо ковёр размера ¹/_<i>a</i>×¹/_<i>b</i>, либо два ковра размеров <i>c</i>×<i>b</i> и  ^<i>a</i>/_<i>c</i>×<i>b</i>  (при каждом таком обмене число <i>c</i> клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента...

Натуральное число <i>N</i> представляется в виде  <i>N = a</i>₁ – <i>a</i>₂ = <i>b</i>₁ – <i>b</i>₂ = <i>c</i>₁ – <i>c</i>₂ = <i>d</i>₁ – <i>d</i>₂,  где <i>a</i>₁ и <i>a</i>₂ – квадраты, <i>b</i>₁ и <i>b</i>₂ – кубы, <i>c</i>₁ и <i>c</i>₂ – пятые степени, а <i>d</i><sub>1</su...

Найдите все такие пары различных действительных чисел <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>x</i>¹⁰⁰ – <i>y</i>¹⁰⁰ = 2⁹⁹(<i>x – y</i>)  и  <i>x</i>²⁰⁰ – <i>y</i>²⁰⁰ = 2¹⁹⁹(<i>x – y</i>).

По кругу стоят <i>n</i> мальчиков и <i>n</i> девочек. Назовём пару из мальчика и девочки <i> хорошей</i>, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором  ∠<i>DAB</i> = 90°.  Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Оказалось. что  ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BAM</i>.

Докажите, что  ∠<i>ADB</i> = ∠<i>CAM</i>.