Назад

Олимпиадная задача: разрезание треугольника и сборка прямоугольника для 7–9 классов

Задача 210142 • Сложность: 3 • 7-9 класс
Задача

Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на три многоугольника, один из которых должен быть тупоугольным треугольником, так, чтобы потом сложить из них прямоугольник. (Переворачивать части можно).

Авторы:
Дмитриев О.
Разделы:
Планиметрия Комбинаторная геометрия
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2002-2003 Региональный этап
Количество версий:
4
Решение

В неравнобедренном треугольнике ABC проведем высоту из вершины наибольшего угла ( BD на рис. 1). Пусть BC>BA , тогда DC>DA . Прямоугольником, равновеликим треугольнику ABC будет прямоугольник BDEF , где DE=AC , а точка E лежит на DC , так как DC>DA . Построим Δ GFE , равный Δ ADB ( G BF ). Тогда BG=BF-GF=DE-AD=(AD+EC)-AD=EC , и из параллельности прямых BG и CE HBG= HCE , BGH= HEC . Следовательно, Δ BGH=Δ CEH . Получили три многоугольника: ABD , BDEH , CEH (тупоугольный треугольник). Перекладывая Δ ABD на место Δ GEF и Δ CEH на место Δ BGH , получим прямоугольник.

          
Рис. 1                             Рис. 2
Если Δ ABC равнобедренный ( AB=BC на рис. 2), то проводим высоту BD , отрезаем тупоугольный треугольник BFG и, перекладывая Δ BDC на место Δ AEB , получаем прямоугольник.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет