Олимпиадная задача по математике для 7-9 классов от Рубанова И. С.: одинаковые разности в последовательности
Задача
Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.
Решение
Занумеруем числа набора в порядке возрастания:0<a1<a2<..<a2003. Поскольку суммы a2003+a1, a2003+a2002в набор входить не могут, в него входят разности a2003-a1, a2003-a2002. Все эти 2002 разности различны и меньше, чем a2003. Поэтому a2003-a1=a2002, a2003-a2=a2001, a2003-a2002=a1.
Далее, поскольку a2002+a2>a2002+a1=a2003, в набор входит разность a2002-a2. По тем же причинам в набор входят разности a2002-a3, a2002-a2001.
Всего таких разностей 2000, все они различны и меньше, чем a2001(ибо a2001=a2003-a2>a2002-a2 ). Поэтому a2002-a2=a2000, a2002-a2001=a1.
Возьмем произвольное2
k 2001. Тогда a2003-ak=a2003-k и a2002-ak=a2002-k , откуда a2003-k-a2002-k=a2003-a2002=a1.
Таким образом, a1=a2003-a2002=a2002-a2001=a2001-a2000=..=a2-a1, что и требовалось доказать.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь