Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап»

Натуральное число <i>N</i> представляется в виде  <i>N = a</i>₁ – <i>a</i>₂ = <i>b</i>₁ – <i>b</i>₂ = <i>c</i>₁ – <i>c</i>₂ = <i>d</i>₁ – <i>d</i>₂,  где <i>a</i>₁ и <i>a</i>₂ – квадраты, <i>b</i>₁ и <i>b</i>₂ – кубы, <i>c</i>₁ и <i>c</i>₂ – пятые степени, а <i>d</i><sub>1</su...

Найдите все такие пары различных действительных чисел <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>x</i>¹⁰⁰ – <i>y</i>¹⁰⁰ = 2⁹⁹(<i>x – y</i>)  и  <i>x</i>²⁰⁰ – <i>y</i>²⁰⁰ = 2¹⁹⁹(<i>x – y</i>).

По кругу стоят <i>n</i> мальчиков и <i>n</i> девочек. Назовём пару из мальчика и девочки <i> хорошей</i>, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором  ∠<i>DAB</i> = 90°.  Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Оказалось. что  ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BAM</i>.

Докажите, что  ∠<i>ADB</i> = ∠<i>CAM</i>.

В белой таблице 2016×2016 некоторые клетки окрасили чёрным. Назовём натуральное число <i>k удачным</i>, если  <i>k</i> ≤ 2016,  и в каждом из клетчатых квадратов со стороной <i>k</i>, расположенных в таблице, окрашено ровно <i>k</i> клеток. (Например, если все клетки чёрные, то удачным является только число 1.) Какое наибольшее количество чисел могут быть удачными?

Дана клетчатая таблица 100×100, клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?

В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

Есть клетчатая доска 2015×2015. Дима ставит в <i>k</i> клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500×1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем <i>k</i> Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BL</i>. На отрезке <i>CL</i> выбрана точка <i>M</i>. Касательная в точке <i>B</i> к описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> пересекает луч <i>CA</i> в точке <i>P</i>. Касательные в точках <i>B</i> и <i>M</i> к описанной окружности Γ треугольника <i>BLM</i>, пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>PQ</i> и <i>BL</i> параллельны.

Положительные числа <i>x, y</i> и <i>z</i> удовлетворяют условию  <i>xyz ≥ xy + yz + zx</i>.  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65705/problem_65705_img_2.png">

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  не имеющий корней, таков, что коэффициент <i>b</i> рационален, а среди чисел <i>c</i> и <i>f</i>(<i>c</i>) ровно одно иррационально.

Может ли дискриминант трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) быть рациональным?

Внутри равнобокой трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> расположена окружность ω с центром <i>I</i>, касающаяся отрезков <i>AB, CD</i> и <i>DA</i>. Описанная окружность треугольника <i>BIC</i> вторично пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что прямая <i>CE</i> касается окружности ω.

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество <i>A</i>, состоящее из действительных чисел, <i> полным</i>, если для любых действительных <i>a</i> и <i>b</i> (не обязательно различных и не обязательно лежащих в <i>A</i>), при которых  <i>a + b</i>  лежит в <i>A</i>, число <i>ab</i> также лежит в <i>A</i>. Найдите все полные множества действительных чисел.

На стороне <i>AB</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i> (точка<i>K</i> лежит между <i>A</i> и <i>L</i>), а на стороне <i>CD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> (точка <i>M</i> между <i>C</i> и <i>N</i>). Известно, что  <i>AK = KN = DN</i>  и  <i>BL = BC = CM</i>.  Докажите, что если <i>BCNK</i> – вписанный четырёхугольник, то и <i>ADML</i> тоже вписан.

Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).

Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество <i>A</i>, состоящее из натуральных чисел, <i> полным</i>, если для любых натуральных <i>a</i> и <i>b</i> (не обязательно различных и не обязательно лежащих в <i>A</i>), при которых  <i>a + b</i>  лежит в <i>A</i>, число <i>ab</i> также лежит в <i>A</i>. Найдите все полные множества натуральных чисел.

В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)

У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет

вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?

Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).

Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC,  AB = BC</i>.  В описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> проведён диаметр <i>CC'</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C'</i> параллельно <i>BC</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>C'P</i>.

Даны квадратные трёхчлены  <i>f</i>₁(<i>x</i>),  <i>f</i>₂(<i>x</i>), ...,  <i>f</i>₁₀₀(<i>x</i>) с одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>², одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена <i>f_i</i>(<i>x</i>) выбрали один корень и обозначили его через <i>x_i</i>. Какие значения может принимать сумма  <i>f</i>₂(<i>x</i>₁) + <i>f</i>₃(<i>x</i><sub&gt...