Решение 1:   На продолжении отрезка AB за точку A отметим точку K так, что  AB = AK  (рис. слева). Тогда AM – средняя линия треугольника BCK, откуда

AM || CK.  Значит,  ∠BKC = ∠BAM = ∠ADC.  Отсюда следует, что четырёхугольник AKDC вписан.

  Опять используя параллельность AM и CK, получаем  ∠CAM = ∠ACK = ∠ADK.  DA – медиана и высота треугольника BDK, поэтому DA является и биссектрисой; отсюда  ∠ADB = ∠ADK = ∠CAM.

                   

Решение 2:   Заметим, что  ∠ADC + ∠DAM = ∠BAM + ∠DAM = 90°;  это значит, что  AM ⊥ CD.  Опустим перпендикуляры MN и BP на прямую CD; тогда точки A, M и N лежат на одной прямой (рис. в центре).

  Поскольку MN – средняя линия треугольника BCP, то  PN = NC.  Значит, AN – высота и медиана треугольника APC, откуда  ∠CAM = ∠MAP.  Так как  BP || AN,  то  ∠MAP = ∠APB.  Наконец, поскольку  ∠BPD = ∠BAD = 90°,  четырёхугольник ABPD вписан; поэтому  ∠APB = ∠ADB.  Итак,

∠CAM = ∠MAP = ∠APB = ∠ADB.

Решение 3:   Отложим на луче AM точку Q так, что  AQ = 2AM  (рис. справа). Тогда в четырёхугольнике ABQC диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть он – параллелограмм; значит,  ∠CAQ = ∠AQB.

  Так как QC || AB,  то  QC ⊥ AD.  Кроме того,  DC ⊥ AQ  (см. решение 2). Значит, C – точка пересечения высот треугольника AQD, откуда  AC ⊥ QD  (и, значит,  BQ ⊥ QD).

  Поскольку  ∠BAD = ∠BQD = 90°,  четырёхугольник ABQD вписан. Значит,  ∠ADB = ∠AQB = ∠CAQ,  что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует