Пусть p₀, p₁, ..., p_2n – числа на карточках, причём p_2n – наибольшее по модулю из них. Поставим p_i коэффициентом при xⁱ. Тогда, если a – целое число, по модулю не меньшее 2, то  |p_2na²ⁿ| > |p_2n|(|a^2n–1| + |a^2n–2| + ... + 1) ≥ |p_2n–1a^2n–1| + |p_2n–2a^2n–2| + ... + |p₀| ≥ |p_2n–1a^2n–1 + p_2n–2a^2n–2 + ... + p₀,  так что a – не корень полученного многочлена.

  Осталось переставить коэффициенты  p_2n–1, p_2n–2, ..., p₀  так, чтобы числа 0 и ±1 также не были корнями. Числа 0 и 1 в любом случае корнями не являются, поскольку  p₀ ≠ 0 ≠ p_2n + p_2n–1 + p_2n–2 + ... + p₀  по условию. Предположим, что  x₀ = –1  является корнем многочлена при любой перестановке коэффициентов  p_2n–1, p_2n–2, ..., p₀.  Тогда, если поменять местами p_i и p_i–1 (при  i = 1, 2, ..., 2n – 1),  значение многочлена в x₀ не изменится, что возможно лишь при  p_i = p_i–1.  Но тогда наш многочлен имеет вид  p_2na²ⁿ + p₀(x^2n–1 + x^2n–2 + ... + 1),  и его значение в точке  x₀ = –1  равно  p_2n ≠ 0.  Противоречие.

Всегда.