Олимпиадные задачи из источника «2015-2016» - сложность 2 с решениями

Пусть <i>n</i> – натуральное число. На  2<i>n</i> + 1  карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении  *<i>x</i>^2<i>n</i> + *<i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + ... *<i>x</i> + *  так, чтобы полученный многочлен не имел <i>целых</i> корней. Всегда ли это можно сделать?

В пространстве даны три отрезка <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i>₂, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке <i>P</i>. Обозначим через <i>O_ijk</i> центр сферы, проходящей через точки <i>A_i, B_j, C_k</i> и <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>O</i>₁₁₁<i>O</i>₂₂₂, <i>O</i>₁₁₂<i>O</i><sub>2...

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка <i>X</i>, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка <i>X</i> будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> выбрана на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>PQ</i> ⊥ <i>AC</i>.

Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников <i>APD</i> и <i>BQD</i>, параллельна прямой <i>AD</i>.

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что  <i>KS || AC</i>  и  <i>LT || AB</i>.  Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера <i>a</i>×<i>b</i> дать либо ковёр размера ¹/_<i>a</i>×¹/_<i>b</i>, либо два ковра размеров <i>c</i>×<i>b</i> и  ^<i>a</i>/_<i>c</i>×<i>b</i>  (при каждом таком обмене число <i>c</i> клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента...

Положительные числа <i>x, y</i> и <i>z</i> удовлетворяют условию  <i>xyz ≥ xy + yz + zx</i>.  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65705/problem_65705_img_2.png">

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  не имеющий корней, таков, что коэффициент <i>b</i> рационален, а среди чисел <i>c</i> и <i>f</i>(<i>c</i>) ровно одно иррационально.

Может ли дискриминант трёхчлена  <i>f</i>(<i>x</i>) быть рациональным?

На стороне <i>AB</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i> (точка<i>K</i> лежит между <i>A</i> и <i>L</i>), а на стороне <i>CD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> (точка <i>M</i> между <i>C</i> и <i>N</i>). Известно, что  <i>AK = KN = DN</i>  и  <i>BL = BC = CM</i>.  Докажите, что если <i>BCNK</i> – вписанный четырёхугольник, то и <i>ADML</i> тоже вписан.

В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC,  AB = BC</i>.  В описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i> проведён диаметр <i>CC'</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C'</i> параллельно <i>BC</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>C'P</i>.

Даны квадратные трёхчлены  <i>f</i>₁(<i>x</i>),  <i>f</i>₂(<i>x</i>), ...,  <i>f</i>₁₀₀(<i>x</i>) с одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>², одинаковыми коэффициентами при <i>x</i>, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена <i>f_i</i>(<i>x</i>) выбрали один корень и обозначили его через <i>x_i</i>. Какие значения может принимать сумма  <i>f</i>₂(<i>x</i>₁) + <i>f</i>₃(<i>x</i><sub&gt...