Задача
На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?
Решение
Первый способ. Возьмём числа x = N² – 3N + 1, y = N² – N + 1, z = – 3N² + 3N – 1, t = N² + N – 1, где N – натуральное число, большее 106.
Нетрудно видеть, что эти числа также больше 106 по модулю и попарно различны. Их попарными суммами являются числа x + y = 2(N – 1)²,
x + z = – 2N², y + z = – 2N(N – 1), z + t = – 2(N – 1)², y + t = 2N², x + t = 2N(N – 1), и они разбиваются на три группы с равными произведениями:
(x + y)(x + z) = (y + t)(z + t) = (x + t)(y + z) = – 4N²(N – 1)².
Если у чисел x, y, z, t есть общий натуральный делитель d, то d также делит x + y = 2(N – 1)² и y + t = 2N²; значит, d ≤ (2N², 2(N – 1)²) = 2. Случай
d = 2 невозможен, поскольку y = N(N – 1) + 1 нечётно. Итак, d = 1. Второй способ. Возьмём x = N³ – N² + 1, y = N³ – 3N² + 2N – 1, z = – N³ + N² – 2N + 1, t = – N³ + N² + 2N – 1, где N – натуральное число, большее 106. Эти числа больше 106 по модулю и попарно различны. Их попарными суммами являются числа x + y = 2N(N – 1)², x + z = – 2(N – 1), y + z = – 2N²,
z + t = – 2N²(N – 1), y + t = –2(N – 1)², x + t = 2N, и они разбиваются на три группы с равными произведениями: (x + y)(x + t) = (x + z) (z + t) = (y + z)(y + t) = 4N²(N – 1)².
Проверка их совокупной взаимной простоты проводится аналогично такой же проверке в первом способе.
Ответ
Могли.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь